A área de um triângulo equilátero decresce à razão de 4   c m 2 / m i n . Determine a taxa na qual o comprimento do lado está variando quando a área do triângulo é 200   c m 2 .

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente determinar a taxa na qual o comprimento do lado do triângulo está variando quando sua área é de 200   c m 2 . Isso significa que nós queremos encontrar a taxa d L d t do lado do triângulo, quando a área A = 200   c m 2 .

Pra isso, vamos usar a fórmula da área do triângulo equilátero:

A = L 2 3 4

Assim, substituindo o valor da área, teremos a lateral:

L = 4 ∙ A 3 = 800 3 3 = 20 2 3 4 3

Mas a gente quer o d L d t , então o que nós vamos fazer é derivar a expressão da área implicitamente e substituir esse valor do lado junto com os dados que o enunciado nos deu.

Vamos lá!

Passo 2

Derivando a expressão da área, temos:

A ' = 2 ∙ L ∙ L ' ∙ 3 4

Substituindo a taxa de variação da área e o valor da lateral, vamos ter:

- 4 = 2 ∙ 20 2 3 4 3 ∙ L ' ∙ 3 4

Simplificando 3 :

- 16 = 2 ∙ 20 2 3 4 ∙ L '

L ' = - 16 40 2 3 4

Racionalizando o 2 e simplificando mais uma vez, temos:

L ' = - 2 5 3 4

Então, a taxa na qual o comprimento do lado está variando quando a área do triângulo é 200   c m 2 é:

d L d t = - 2 5 3 4   c m / m i n

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

- 2 5 3 4   c m / m i n

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