Uma caixa em forma de paralelepípedo deve ter comprimento igual ao dobro da largura. Se a soma da altura com a largura deve ser 48 cm, calcule seus valores para que o volume seja máximo.

Passo 1

Oi lindux

Para encontrar as dimensões da caixa que maximizam o volume, você pode usar o cálculo. Primeiro, vamos denotar as dimensões da caixa da seguinte forma:

- Comprimento ( L )   =   2 x (onde "x" é a largura)

- Largura ( W )   =   x

- Altura ( H )   =   48   -   x (já que a soma da altura com a largura deve ser 48 cm)

O volume da caixa é dado por:

V   =   L   x   W   x   H

V   =   2 x ⋅ x ⋅ ( 48   -   x )

Agora, você deseja encontrar o valor de "x" que maximiza o volume V.

Para fazer isso, primeiro expanda a expressão para o volume e em seguida, diferencie em relação a "x" e iguala a zero para encontrar o valor crítico.

Em seguida, verifique se é um máximo ou mínimo usando a segunda derivada.

V   =   2 x 2 ⋅ ( 48   -   x )

Passo 2

Agora, vamos diferenciar V em relação a x:

d V d x =   2 x 2 ⋅ - 1 +   2 ⋅   2 x ⋅ 48   -   x

Agora, igualando a derivada a zero para encontrar o valor crítico:

0   =   - 2 x 2 +   4 x ( 48   -   x )

0   =   - 2 x 2   +   192 x   -   4 x 2

Agrupando termos semelhantes:

0   =   - 6 x 2   +   192 x

Agora, resolvendo esta equação quadrática:

6 x 2   =   192 x

Divida ambos os lados por 6x (lembre-se de que x não pode ser zero, pois, a largura não pode ser zero):

x   =   32

Passo 3

Agora que encontramos o valor de x, podemos encontrar as outras dimensões:

-   C o m p r i m e n t o   L =   2 x   =   2 ⋅ 32   =   64   c m

-   L a r g u r a   ( W )   =   x   =   32   c m

-   A l t u r a   ( H )   =   48   -   x   =   48   -   32   =   16   c m

Portanto, as dimensões da caixa que maximizam o volume são: comprimento de 64 cm, largura de 32 cm e altura de 16 cm.

Resposta

Portanto, as dimensões da caixa que maximizam o volume são: comprimento de 64 cm, largura de 32 cm e altura de 16 cm.

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