Um cilindro é obtido girando-se um retângulo ao redor do eixo x , onde a base do retângulo está apoiada. Seus vértices superiores estão sobre a curva y = x x 2 + 1 . Qual é o maior volume que tal cilindro pode ter?

Passo 1

Fala aí pessoal, tudo beleza?

Nessa questão temos mais um probleminha de otimização.

Basicamente, um cilindro vai ser formado pela rotação de um retângulo em torno do eixo x . O objetivo é que maximizemos esse volume sabendo que os vértices superiores do retângulo estão na curva:

y = x x 2 + 1

E que a base do retângulo está apoiada no eixo x .

Bom, como o volume é obtido pela rotação em torno do eixo x , o nosso cilindro vai estar deitado no plano cartesiano. Assim, o seu volume será dado por:

V = π r 2 ⋅ h

r será justamente o raio da tampa do cilindro. Nesse caso, r equivale à altura dos vértices superiores do retângulo. Então:

r = y = x x 2 + 1

h é a altura do cilindro, que nesse caso equivale à distância entre os vértices superiores do retângulo.

Como os vértices superiores estão na curva dada, e por se tratar de um retângulo o lado superior do polígono é paralelo à base, que está apoiada no eixo x . Temos que os vértices superiores são pontos ( x 1 , y ) e ( x 2 , y ) .

A primeira dificuldade é encontrar uma relação entre x 1 e x 2 .

Depois, iremos substituir na fórmula do volume para resolver o problema de optimização em si.

Derivamos, igualamos a zero, e encontramos o valor de x que resulta no máximo volume.

Sacaram? Vamo nessa!

Passo 2

Bom, pra começar precisamos obter uma relação entre x 1 e x 2 dado que:

x 1 x 1 2 + 1 = x 2 x 2 2 + 1

Essa parte realmente é complicadinha, mas tem uma sacada muito legal que podemos usar.

Vamos olhar quanto vale y 1 x 1 . Temos:

y 1 x 1 = 1 x 1 1 x 1 2 + 1

= 1 x 1 ⋅ x 1 2 x 1 2 + 1

= x 1 x 1 2 + 1

Uoou, olha que interessante! Temos que:

y 1 x 1 = y x 1

Mas, o x 2 que queremos encontrar é definido justamente por essa relação:

y x 1 = y x 2

Logo, temos que:

x 2 = 1 x 1

Perfeito!

Assim, a altura h do cilindro gerado vale:

x 1 - x 2 = x 1 - 1 x 1

= x 1 2 - 1 x 1

Que, a partir de agora chamaremos apenas de x . Ou seja:

h = x 1 2 - 1 x 1

Perfeito!

Passo 3

Vamos agora substituir no nosso volume para derivar a expressão e igualá-la a zero:

V = π x x 2 + 1 2 ⋅ x 2 - 1 x

= π x ⋅ x 2 - 1 x 2 + 1 2

= π x 3 x 2 + 1 2 - π x x 2 + 1 2

Beleza!

Precisamos derivar essa expressão e igualar a zero.

Daí:

d V d x = π x 3 x 2 + 1 2 ' - π x x 2 + 1 2 '

Vamos derivar cada um desses termos separadamente.

Para o primeiro termo, pela regra do quociente:

π x 3 x 2 + 1 2 ' = π ⋅ 3 x 2 x 2 + 1 2 - x 3 x 2 + 1 4 x x 2 + 1 4

Vamos agora derivar o segundo termo:

π x x 2 + 1 2 ' = π ⋅ x 2 + 1 2 - x x 2 + 1 4 x x 2 + 1 4

Daí, juntando os dois, temos:

d V d x = π ⋅ 3 x 2 x 2 + 1 2 - x 3 x 2 + 1 4 x x 2 + 1 4 - x 2 + 1 2 - x x 2 + 1 4 x x 2 + 1 4

= 0

O fator ( x 2 + 1 ) aparece em todos os termos, então podemos simplifica-lo com o denominador:

d V d x = π ⋅ 3 x 2 x 2 + 1 1 - x 3 4 x x 2 + 1 3 - x 2 + 1 1 - x 4 x x 2 + 1 3

Logo, o numerador é nulo:

3 x 4 + 3 x 2 - 4 x 4 - x 2 - 1 + 4 x 2 = 0

- x 4 + 6 x 2 - 1 = 0

∴ x 4 - 6 x 2 + 1 = 0

Essa é uma equação biquadrada, vamos chamar:

z = x 2

Logo:

z 2 - 6 z + 1 = 0

Por bháskara:

z = 6 ± 36 - 4 2

= 3 ± 2 2

Então, voltando para x :

x = 3 ± 2 2

x 1 = 2,41

x 2 = 0,41

Encontramos duas soluções. Isso é porque existem dois valores de x que compõem o nosso retângulo: os dois vértices superiores.

Para calcular o volume pedido no enunciado, basta substituirmos o maior desses dois valores na expressão (pois caso contrário teremos um resultado negativo para a altura do cilindro) que encontramos para o volume V do cilindro.

Temos:

V = π x ⋅ x 2 - 1 x 2 + 1 2

=   π 4  

Nossaaa! Terminamos!!

Essa questão era bem difícil né galera? Mas, que bom que saiu!!

Tamo junto e até a próxima 😊

Resposta

π 4

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