12. Um contêiner para estocagem retangular com uma tampa aberta deve ter um volume de 10 m 3 . O comprimento de sua base é o dobro da largura. O material para a base custa R $ 10,00 por metro quadrado. O materal para os lados custa R $ 6,00 por metro quadrado. Encontre o custo dos materiais para o mais barato desses contêineres.

Passo 1

Fala aí!! Bem-vindo! Está tendo um pouco de dificuldades nessa questão? Não se preocupe vou fazer o máximo pra te ajudar. 😉👍

Nesse problema, queremos obter uma caixa que tenha 10 m 3 de volume cuja altura da base seja o dobro da largura, mas que tenha o menor custo possível, sabendo que a lateral custa R $ 6,00 por metro quadrado e a base custa R $ 10,00 por metro quadrado.

Como vamos fazer isso? 🤔

Para iniciar o problema, temos que definir as equações que temos que trabalhar.

Primeiro, para uma caixa de base de um lado l e largura 2 l e altura h , o volume é calculado como

V = 2 l · l · h

10 = 2 l 2 · h

Essa equação tem que ser satisfeita sempre.

E a equação que descreve o custo da caixa é dada por

C = 10 · 2 l · l + 6 · 2 2 l ⋅ h + 2 l ⋅ h

C = 2 0 l 2 + 6 4 l h + 2 l h

C = 20 l 2 + 2 4 l h + 1 2 l h

Essa equação temos que maximizar.

Sacou? Bora começar! 😁

Passo 2

Isolando uma das variáveis da equação do volume e substituindo na equação do custo, temos

10 = 2 l 2 · h → h = 5 l 2

Substituindo em C

C = 20 l 2 + 24 l 5 l 2 + 1 2 l 5 l 2

C = 20 l 2 + 120 l + 60 l

C = 20 l 2 + 1 8 0 l

Derivando C para obter uma relação entre a taxa em variação de C em função de l , temos

C ' = 4 0 l - 180 l 2

Igualando a 0 ...

40 l - 180 l 2 = 0

40 l = 180 l 2

Isolando l em um lado...

l 3 = 180 40 = 9 2

l = 9 2 3

l = 1,65 m

Assim, vemos que l = 1,65 é a medida que C ser menor possível.

Substituindo em h ...

h = 5 l 2 = 5 1,65 2

h = 1,83 m

Portanto, as medidas da caixa são l = 1,65 m e h = 1,83 m

E o custo para essas dimensões, são...

C = 20 1,65 2 + 24 1,65 1,83 + 1 2 1,65 1,83

C = R $ 163,15

É isso! Essa resolução te ajudou? Responde Aí! ✌

Resposta

l = 1,65 m e h = 1,83 m , C = R $ 163,15

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