Um contêiner para estocagem, retangular sem tampa, deve ter um volume de 10 m³. O comprimento de sua base é o dobro da sua largura. O material para a base

custa R$ 2,50 por metro quadrado. O material para os lados custa R$ 9,00 por metro quadrado. Encontre o valor y da largura do contêiner para que o custo da sua

construção seja o menor possível.

Passo 1

Olá amigo, Yuri aqui e agora iremos resolver esse problema de otimização. O nosso contêiner com as suas respectivas variáveis é dado por

Sabemos que o volume do container é

V = 2 w ∙ w ∙ h = 10

2 w 2 h = 10

w 2 h = 5

E agora iremos calcular o custo total do contêiner, que é a soma dos custos da base com o da área lateral,

C b = 2.5 ∙ 2 w ∙ w = 5 w 2

C L = 9 2 2 w ∙ h + 2 w ∙ h = 9 4 w ∙ h + 2 w ∙ h = 36 w h + 18 w h = 54 w h

C = 5 w 2 + 54 w h

Passo 2

Do volume, podemos escrever

h = 5 w 2

substituindo no custo, ficamos com

C = 5 w 2 + 54 w ∙ 5 w 2

C = 5 w 2 + 270 w

Como iremos encontrar o mínimo, é simples meu caro amigo, iremos derivar o custo e igualar a zero

C ' = 10 w - 270 w 2

C ' = 10 w 3 - 270 w 2 = 0

10 w 3 = 270

w 3 = 27

w = 3

Resposta

w = 3

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