Deseja-se construir uma esfera e um cubo de modo que a soma das áreas de suas superfícies seja igual a 2 . Determine o raio da esfera que maximiza e o que minimiza a soma de seus volumes.

Passo 1

E aí gente, tudo beleza?

Temos mais um probleminha de otimização!

Nessa questão temos uma esfera e um cubo, cujas áreas superficiais valem:

A e s f e r a = 4 π r 2

A c u b o = 6 L 2

O enunciado nos fala que a soma dessas áreas superficiais vale 2 , ou seja:

4 π r 2 + 6 L 2 = 2

E, a partir disso, ele nos pede para determinar o raio da esfera que maximiza e minimiza a soma dos volumes da esfera e do cubo. Ou seja, que maximiza e minimiza V , onde:

V = 4 3 π r 3 + L 3

Para fazer isso vamos seguir a ideia padrão de problemas de otimização. Através da informação da área superficial descobrimos uma relação entre r e h . Depois, substituímos essa relação em V para termos o volume em função de uma única variável. Por fim, derivamos e igualamos a zero para encontrar os pontos de máximo e mínimo 😊

Vamo nessa!

Passo 2

Bom, vamos começar escrevendo uma relação entre r e h :

4 π r 2 + 6 L 2 = 2

∴ L 2 = 2 - 4 π r 2

⇒ L = 2 - 4 π r 2

Substituindo na expressão do volume, vamos ter:

V = 4 3 π r 3 + L 3

= 4 3 π r 3 + 2 - 4 π r 2 6 3 2

Beleza!!

Passo 3

Agora que encontramos uma expressão para o volume V , podemos derivá-la e igualar a zero.

Teremos:

d V d r = 0

∴ d 4 3 π r 3 d r + d 2 - 4 π r 2 6 3 2 d r = 0

Resolvendo cada derivada individualmente:

d 4 3 π r 3 d r = 4 π r 2

Já no próximo teremos uma regra da cadeia:

d 2 - 4 π r 2 6 3 2 d r = d y 3 2 d y ⋅ d y d r

= 1 6 3 2 ⋅ 3 2 ⋅ 2 - 4 π r 2 1 2 ⋅ ( - 8 π r )

Juntando esses dois resultados na nossa equação, vem que:

4 π r 2 - 2 6 π r ⋅ 2 - 4 π r 2 1 2 = 0

∴ 2 6 r 2 = r ⋅ 2 - 4 π r 2 1 2

Como r = 0 não é uma solução que importa pra gente, podemos passar r dividindo:

2 6 r = 2 - 4 π r 2 1 2

Elevando ambos os lados da equação ao quadrado, temos que:

24 r 2 = ( 2 - 4 π r 2 )

⇒ 12 r 2 = 1 - 2 π r 2

∴ r 2 2 π + 12 = 1

Logo:

r 2 = 1 ( 2 π + 12 )

⇒ r = 1 2 π + 12

Perfeito! Esse é o raio que minimiza a soma dos volumes. Mas, encontramos apenas um ponto crítico derivando e igualando a zero.

Isso significa que o máximo valor máximo dessa expressão encontra-se em um dos dois extremos do intervalo. Isto é, como:

4 π r 2 + 6 L 2 = 2

Temos um mínimo e um máximo para o raio r . O máximo ocorre quando L = 0 e o mínimo ocorre quando r = 0 .

Se:

L = 0 ⇒ r = 1 2 π

∴ V = 4 3 π 2 π - 3 2

= 0,26

Se:

r = 0 ⇒ L = 1 3 1 2

∴ V = 3 - 3 2 = 0,19

Portanto, o valor do raio que maximiza o volume é quando temos:

L = 0 ⇒ r = 1 2 π

É isso galera! Finalizamos a questão 😊

Muito obrigado pela atenção de todos!!

Resposta

1 2 π   e   1 2 π + 12

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