Determinar a área da maior pastagem retangular que pode ser cercada fazendo 600 metros de cerca e utilizando 100 metros de cerca (reta) já existente.

Passo 1

Para determinar a área da maior pastagem retangular que pode ser cercada com 600 metros de cerca, sendo que você já possui 100 metros de cerca reta existente, você precisa entender que a cerca já existente formará um dos lados do retângulo.

Vamos chamar os lados do retângulo de "L" (comprimento) e "W" (largura).

A cerca reta de 100 metros já existe e será usada como um dos lados do retângulo. Portanto:

L   =   c o m p r i m e n t o   d o   r e t â n g u l o   =   100   m e t r o s   ( d e v i d o   à   c e r c a   j á   e x i s t e n t e )

A quantidade restante de cerca que você tem disponível para cercar os outros lados do retângulo é de 600 metros + 100 metros = 700 metros.

A soma dos comprimentos dos dois lados restantes do retângulo (os lados paralelos à cerca existente) é 700 metros (você possui 700 metros de cerca adicional).

A área do retângulo é dada por:

Á r e a   =   C o m p r i m e n t o   L ⋅ L a r g u r a   ( W )

Agora, você deseja maximizar a área do retângulo.

Para fazer isso, você precisa escolher as dimensões (Largura) de forma que a área seja a maior possível com os 500 metros de cerca disponíveis.

Passo 2

No entanto, há uma relação importante a ser observada: quanto maior o comprimento (L) do retângulo, menor será a largura (W) possível, e vice-versa, para manter o perímetro de 500 metros.

Vamos usar a fórmula do perímetro para entender essa relação:

P e r í m e t r o   =   2 L   +   2 W

Como o perímetro é igual a 500 metros, podemos escrever:

7 00   =   2 L   +   2 W

Agora, isole W na equação:

2 W   =   7 00   -   2 L

W   = 7 00   -   2 L 2

W   =   250   -   L

Agora, você pode substituir esta expressão para W na fórmula da área:

Á r e a   =   L ⋅ ( 3 50   -   L )

Passo 3

Para maximizar a área, você pode usar cálculo ou o conhecimento de que o valor máximo ocorre no ponto médio do intervalo de possíveis valores de L   ( 0   a   3 50   m e t r o s ) .

Portanto, o valor máximo ocorre quando L   =   125   m e t r o s .

Agora, encontre a largura correspondente:

W   =   3 50   -   L   =   3 50   -   1 7 5   =   1 7 5   m e t r o s

A área máxima ocorre quando L   =   1 7 5   m e t r o s   e   W   =   1 7 5   m e t r o s .

Portanto, a maior área da pastagem retangular que você pode cercar com 600 metros de cerca, usando 100 metros de cerca existente, é:

Á r e a   =   L ⋅   W   =  

= 1 7 5   m e t r o s ⋅ 1 7 5   m e t r o s  

=   30 . 625   m e t r o s   q u a d r a d o s .

Resposta

30 . 625   m 2

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