Determine dois números positivos cuja a soma seja 4 e tal que a soma do cubo do menor com o quadrado do maior seja mínima.

Passo 1

Oieee meus lindosss

Bora lá

Para encontrar dois números positivos cuja soma seja 4 e cuja a soma do cubo do menor com o quadrado do maior seja mínima, você pode usar um pouco de cálculo.

Vamos chamar esses números de " x "   e   " 4   -   x " (pois a soma deles deve ser igual a 4).

A função que descreve a soma do cubo do menor com o quadrado do maior é:

S x =   x 3 +   4   -   x 2

Agora, vamos encontrar o valor mínimo dessa função usando cálculo. Primeiro, encontre a derivada de S ( x ) :

S ' x =   3 x 2 -   2 4   -   x

Agora, encontre o valor de x para o qual a derivada é igual a zero:

3 x 2 -   2 4   -   x =   0

3 x 2 -   8   +   2 x   =   0

Agora, resolva essa equação quadrática para x:

3 x 2 +   2 x   -   8   =   0

Passo 2

Você pode resolver essa equação usando a fórmula quadrática:

x   = - b   ±   b 2 -   4 a c 2 a

Neste caso ,   a   =   3 ,   b   =   2   e   c   =   - 8 .

Substituindo esses valores na fórmula:

x   = - 2   ±   2 2 -   4   *   3   *   - 8 2   *   3

x   = - 2   ±   4   +   96 6

x   = - 2   ±   100 6

x   = - 2   ±   10 6

Passo 3

Agora, calcule as duas possíveis soluções:

  x   = - 2   +   10 6 = 8 6 = 4 3

  x   = - 2   -   10 6 =   - 12 6 =   - 2

No entanto, como estamos procurando dois números positivos, a segunda solução não é válida, pois resultaria em um número negativo. Portanto, o menor número ( x )   é   4 / 3 , e o outro número ( 4   -   x ) é

4   - 4 3 = 12 3 - 4 3 = 8 3

Assim, os dois números positivos cuja soma é 4 e cuja a soma do cubo do menor com o quadrado do maior é mínima são 4 3 e 8 3

Resposta

4 3 e 8 3

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