Quais devem ser as dimensões de uma pastagem retangular de   10.000   m 2   de área, feita a margem de um rio reto para que o gasto com a cerca seja o menor possível sabendo que não é necessário fazer cerca ao longo do rio?

Passo 1

Falaiii galerinha

Para minimizar o gasto com a cerca, você deve criar um retângulo que tenha apenas três lados cercados, já que o rio servirá como uma barreira natural em um dos lados.

Seja "x" a largura do retângulo (lado paralelo ao rio) e "y" o comprimento do retângulo (lado perpendicular ao rio). A área do retângulo é igual a 10.000   m ² :

x y   =   10.000

Você quer minimizar o comprimento da cerca, que é dado por:

C e r c a   =   2 x   +   y

Agora, isole "y" na primeira equação:

y   =   10.000   /   x

Substitua esse valor na equação da cerca:

C e r c a   =   2 x   +   10.000 x

Passo 2

Para minimizar a cerca, você precisa encontrar o valor mínimo de Cerca em relação a "x". Vamos derivar Cerca em relação a "x" e igualar a derivada a zero:

C e r c a ' = d d x   2 x   +   10.000 x   =   2   - 10.000 x 2

Igualando a derivada a zero:

2   - 10.000 x 2   =   0

10.000 x 2   =   2

Multiplicando ambos os lados por x^2:

10.000   =   2 x 2

Dividindo ambos os lados por 2:

5.000   =   x 2

Passo 3

Tirando a raiz quadrada de ambos os lados:

x   =   5.000   =   50 2   m e t r o s

Agora que encontramos o valor de "x", podemos encontrar o valor de "y" usando a primeira equação:

x y   =   10.000

( 50 2 )   *   y   =   10.000

Divida ambos os lados por 50√2:

y   = 10.000 50 2

y   =   10.000 50 *   1 2

y   =   200   *   1 2

y   =   100 2   m e t r o s

Portanto, as dimensões da pastagem retangular que minimizam o gasto com a cerca são de aproximadamente 50 2 metros de largura e 100 2 metros de comprimento (paralelo ao rio). O comprimento ao longo do rio não requer uma cerca

Resposta

50 2 metros de largura e 100 2 metros de comprimento (paralelo ao rio).

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