Quando dois resistores R 1 e R 2 são ligados em paralelo (veja a figura), a resistência total R é dada pela equação 1 R = 1 R 1 + 1 R 2 . Se R 1 e R 2 estão aumentando as taxas de 0,01   o h m s / s e 0,02   o h m s / s respectivamente, a que taxa varia R no instante em que R 1 = 30   o h m e R 2 = 90   o h m ?

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente determinar a taxa de variação de R no instante em que R 1 = 30   o h m e R 2 = 90   o h m , então a gente quer encontrar um d R d t .

Pra isso, ele nos disse que R 1 e R 2 estão aumentando as taxas de 0,01   o h m s / s e 0,02   o h m s / s , respectivamente. Isso quer dizer que:

d R 1 d t = 0,01   o h m s / s  

E

d R 2 d t = 0,02   o h m s / s

Além disso, eles nos deu a equação da resistência total nessa configuração em paralelo, que é:

1 R = 1 R 1 + 1 R 2

Então, o que nós vamos fazer, pra fazer aparecer o d R d t ali, é derivar essa equação implicitamente em relação a t e substituir os dados do enunciado.

Vamos lá!

Passo 2

Derivando a expressão da resistência, temos:

- 1 R 2 d R d t = - 1 R 1 2 d R 1 d t - 1 R 2 2 d R 2 d t  

d R d t = R 2 1 R 1 2 d R 1 d t + 1 R 2 2 d R 2 d t

Passo 3

A gente já sabe que d R 1 d t = 0,01   o h m s / s , d R 2 d t = 0,0 2   o h m s / s , R 1 = 30   o h m e R 2 = 90   o h m . Mas falta o R . E pra descobrir o valor dele, vamos usar a equação que o enunciado nos deu:

1 R = 1 R 1 + 1 R 2

R = R 1 R 2 R 1 + R 2

Substituindo os valores de R 1 e R 2 :

R = 30 ∙ 90 30 + 90 = 2700 120 = 22,5   o h m

Passo 4

Agora temos tudo que precisamos para voltar a nossa equação do passo 2 e substituir:

d R d t = R 2 1 R 1 2 d R 1 d t + 1 R 2 2 d R 2 d t

d R d t = ( 22,5 ) 2 1 ( 30 ) 2 ∙ 0,01 + 1 90 2 ∙ ( 0,02 )

d R d t = 0,006875   o h m s / s

Portanto, a taxa de variação R , no instante em que R 1 = 30   o h m e R 2 = 90   o h m , é 0,006875   o h m s / s .

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

0,006875   o h m s / s

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