10. Encontre as dimensões de um retângulo com área de 1.000 m 2 cujo perímetro seja o menor possível

Passo 1

Fala aí! Tudo certinho? Esta questão está um pouco complicada? Relaxa que vamos tentar te ajudar. 😎

Nesse problema, queremos obter um retângulo que tenha 100 0 m 2 de área, mas que tenha o menor perímetro possível.

Como vamos fazer isso? 🤔

Para iniciar o problema, temos que definir as equações que temos que trabalhar.

Primeiro, para um retângulo de lado l e altura h , a área é calculada como

A = l · h

1000 = l · h

Essa equação tem que ser satisfeita sempre.

E a equação do perímetro do retângulo é dada por

P = 2 l + 2 h

Essa equação temos que maximizar.

Sacou? Bora começar! 😁

Passo 2

Isolando uma das variáveis da equação da área e substituindo na equação do perimetro, temos

l = 1000 h

Substituindo em P

P = 2 1000 h + 2 h

P = 2 000 h + 2 h

Derivando P para obter uma relação entre a taxa em variação de P em função de h , temos

P ' = - 2000 h 2 + 2

Igualando a 0 ...

- 2000 h 2 + 2 = 0 → 2000 h 2 = 2

h 2 = 2000 2 = 1000

h = 1000

h = 10 10

Assim, vemos que h = 10 10 é a medida que P ser menor possível.

Substituindo em l ...

l = 1000 h = 1000 10 10

l = 100 10 = 10 · 10 10

Como a a = a , então

l = 10 10

Portanto, as medidas do retângulo são l = 10 10 m e h = 10 10 m

Fim! Iae, o que achou? Responde Aí! 😁

Resposta

l = 10 10 m e h = 10 10 m

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