Encontre as dimensões do retângulo com a maior área que pode ser inscrito em um círculo de raio r.

Passo 1

Bora para mais uma galerinha?

Sendo  r  o raio da circunferência, sejam  a   e   b os lados do retângulo inscrito, de modo que sua área é dada por:

A a , b = a ⋅ b

ou seja, a função  A  depende das variáveis  a   e   b

Pelo Teorema de Pitágoras, temos que:

2 r 2 = a 2 + b 2

Ou seja

a = 4 r 2 - b 2

Substituindo na expressão que fornece a área, temos:

A b = b 4 r 2 - b 2

e, dessa maneira, A é função de uma única variável: b, sendo  0 < b < 2 r

Observação: Se b = 0   o u   b = 2 r , temos retângulos "degenerados".

Passo 2

Vamos estudar agora a função

A b = b 4 r 2 - b 2

para encontrar seu ponto de máximo.

Temos:

A ' b = 4 r 2 - b 2 + - b 2 4 r 2 - b 2 = 4 r 2 - 2 b 2 4 r 2 - b 2

A ' b = 0 ↔ 4 r 2 - 2 b 2 = 0

ou seja,

b 2 = 2 r 2

isto é  b = r   2  é ponto crítico para a função A.

Esse ponto é um ponto de máximo local para a função A, pois:

se  0 < b < 2 r então  A ' b > 0  e, portanto, A é estritamente crescente;

se  r 2 < b < 2 r  então  A ' b < 0  e, portanto, A é estritamente decrescente.

Passo 3

Esse ponto é o ponto de máximo global para a função A no intervalo ] 0,2 r [ , pois a função A não muda seu comportamento com relação ao crescimento/decrescimento nesse intervalo.

Substituindo em  a = 4 r 2 - b 2 , temos:

a = 4 r 2 - r 2 2

a = r 2

Portanto,  a = b = r   2  ou seja, o retângulo de área máxima inscrito numa circunferência é um quadrado.

Resposta

r   2

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