Encontre o ponto sobre a curva y 2   =   2 x mais próximo de ( 1 ,   4 ) .

Passo 1

Falaa galerinha, tudo bem?

Vamos aplicar os nossos conhecimentos sobre o método dos multiplicadores de Lagrange.

A função de Lagrange e dada por:

F x 1 , x 2 , … , x n ,   λ 1 ,   λ 2 ,   … , λ n = f x 1 , x 2 … ,   x n + ∑ i = 1 r λ i ϕ i x 1 , x 2 … ,   x n

Seja P ( x , y ) um ponto qualquer pertencente a curva y 2 = 2 x . A distância entre o ponto ( 1,4 ) e a curva é d 2 = f x , y = x - 1 2 + y - 4 2 .

Portanto, precisamos minimizar a função f ( x , y ) sujeita a restrição ϕ x , y ≡ y 2 - 2 x = 0 .

A função de Lagrange é

F x , y , λ = f x , y + λ ϕ ( x , y )

F x , y , λ = x - 1 2 + y - 4 2 + λ ( y 2 - 2 x )

Calcule as derivadas parciais de F em relação a x , y , λ   e defina-as como zero:

∂ F ∂ x = 2 x - 1 - 2 λ = 0

∂ F ∂ y = 2 y - 4 + 2 λ y = 0

∂ F ∂ λ = y 2 - 2 x = 0

Passo 2

Resolva esse sistema de equações para encontrar os valores de x , y , λ

Da primeira equação, temos:

2 x   -   1 -   2 λ =   0   ⇒ x   =   1   +   λ

Substitua x na terceira equação:

y 2 -   2 1   +   λ =   0   ⇒ y 2 =   2 1   +   λ

Agora, substitua x   e   y na segunda equação:

2 y   -   4 +   2 λ y   =   0

2 y   -   8   +   2 λ y   =   0

2 y 1   +   λ =   8

y = 8 2 1 + λ = 4 1 + λ

Passo 3

Substitua os valores de x   e   y de volta na equação da restrição para encontrar λ

y 2 -   2 x   =   0

4 1 + λ 2 -   2 1   +   λ =   0

Simplifique e resolva essa equação para encontrar \(\lambda\):

16 1 + λ 2 -   2 1   +   λ =   0

Multiplicando ambos os lados por 1 + λ 2

16   -   2 1   +   λ 3 =   0

Dividindo por 2:

8   -   ( 1   +   λ ) ^ 3   =   0

Agora, resolva para λ :

1   +   λ 3 =   8

1   +   λ = 8 3

1   +   λ =   2

λ =   2   -   1

λ =   1

Passo 4

Agora que você encontrou λ   =   1 , você pode encontrar os valores correspondentes de x   e   y

x   =   1   +   λ =   1   +   1   =   2

y = 4 1 + λ = 4 1 + 1 = 2

Portanto, o ponto ( x , y ) que minimiza a função f ( x , y ) sujeita à restrição ϕ x , y = y 2 - 2 x = 0   é   ( 2,2 ) , e a distância mínima entre o ponto ( 1,4 ) e a curva y 2 = 2 x ocorre em ( 2,2 ) .

Resposta

( 2,2 )

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