Encontre os pontos da elipse 4 x 2   +   y 2   =   4 que estão mais distantes do ponto ( 1 ,   0 ) .

Passo 1

Oi linduxx

Para encontrar os pontos da elipse 4 x 2   +   y 2   =   4 que estão mais distantes do ponto 1,0 , podemos usar o fato de que esses pontos serão aqueles que têm a maior distância do ponto 1,0 .

A distância entre dois pontos x 1 , y 1   e   x 2 ,   y 2 é dada pela fórmula da distância euclidiana:

d = x 2 - x 1 2 + y 2 - y 1 2

Neste caso, estamos procurando os pontos ( x , y ) na elipse que maximizam essa distância, o que significa que estamos procurando o valor máximo da expressão:

d = x - 1 2 + y 2

Vamos agora substituir a expressão da elipse 4 x 2   +   y 2   =   4 na expressão da distância:

d = x - 1 2 + 4 - 4 x 2

Para maximizar a distância, precisamos maximizar d 2 em vez de d , porque a raiz quadrada não afeta a ordem dos máximos e mínimos. Assim, maximizaremos d 2 :

d 2 =   x   -   1 2 +   4   -   4 x 2

Passo 2

Agora, para encontrar o valor máximo de d 2 , podemos diferenciar em relação a x   e igualar a zero:

d d x d 2 = 2 x - 1 - 8 x = 0

Agora, resolvemos para x

2 x   -   2   -   8 x   =   0

- 6 x   -   2   =   0

- 6 x   =   2

x = - 1 3

Passo 3

Agora que temos o valor de x , podemos encontrar o valor correspondente de y   usando a equação da elipse:

4 x 2 +   y 2 =   4

4 - 1 3 2 + y 2 = 4

4 9 + y 2 = 4

y 2 = 4 - 4 9

y 2 = 36 9 - 4 9

y 2 = 32 9

y   =   ± 32 9

y   =   ± 4 2 3

Portanto, os pontos na elipse 4 x 2   +   y 2   =   4 que estão mais distantes do ponto 1,0 são

- 1 3 , 4 2 3   e   - 1 3 , - 4 2 3

Resposta

- 1 3 , 4 2 3   e   - 1 3 , - 4 2 3

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