Um fazendeiro quer cercar uma área de 15.000   m 2 em um campo retangular e então dividi-lo ao meio com uma cerca paralela a um dos lados do retângulo. Como fazer isso de forma que minimize os custos da cerca?

Passo 1

Oieee bora resolver mais uma?

Para minimizar os custos da cerca, o fazendeiro deve encontrar as dimensões do retângulo que minimize a quantidade de cerca necessária para cercar a área de 15.000 m² e também permita a divisão ao meio com uma cerca paralela a um dos lados. Para fazer isso, podemos seguir os seguintes passos:

Seja x o comprimento do retângulo e y a largura do retângulo. Portanto, a área do retângulo é dada por:

Á r e a   =   x ⋅ y   =   15.000   m ²

Queremos minimizar os custos da cerca, que são diretamente proporcionais ao perímetro do retângulo. O perímetro de um retângulo é dado por:

P e r í m e t r o   =   2 x   +   2 y

Agora, precisamos considerar a cerca que divide o retângulo ao meio. Se o fazendeiro escolher fazer a cerca de divisão paralela ao comprimento (x), ele precisará de mais uma cerca com comprimento x. Portanto, o perímetro total com a cerca de divisão será:

P e r í m e t r o   T o t a l   =   2 x   +   2 y   +   x   =   3 x   +   2 y

Passo 2

Agora, podemos expressar y em termos de x a partir da equação da área (Passo 1):

y   = 15.000 x

Substitua y na equação do perímetro total (Passo 3):

P e r í m e t r o   T o t a l   =   3 x   +   2 15.000 x

Agora, precisamos encontrar o valor de x que minimiza o perímetro total.

Para fazer isso, podemos derivar a equação em relação a x e encontrar o valor de x que torna a derivada igual a zero:

d P e r í m e t r o   T o t a l d x =   3   - 30,000 x 2  

Agora, igualamos a derivada a zero:

3   - 30,000 x 2   =   0

30,000 x 2   =   3

x 2   = 30,000 3

x 2   =   10,000

x   =   10,000

x   =   100   m e t r o s

Passo 3

Agora que encontramos o valor de x, podemos calcular o valor de y usando a equação da área:

y   = 15,000 x

y   = 15,000 100

y   =   150   m e t r o s

Portanto, as dimensões do retângulo que minimizam os custos da cerca são 100 metros de comprimento (x) e 150 metros de largura (y).

O perímetro total mínimo será:

P e r í m e t r o   T o t a l   =   3 x   +   2 y

P e r í m e t r o   T o t a l   =   3   *   100   +   2   *   150

P e r í m e t r o   T o t a l   =   300   +   300

P e r í m e t r o   T o t a l   =   600   m e t r o s

Assim, o fazendeiro deve cercar um retângulo de 100 metros por 150 metros e, em seguida, dividir ao meio com uma cerca paralela ao comprimento para minimizar os custos da cerca. O comprimento total da cerca necessária será de 600 metros.

Resposta

150   m   e   100   m

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