Um muro de 2 metros de altura está a 1 metro de distância da parede lateral de um prédio. Qual o comprimento da menor escada cujas extremidades se apoiam uma na parede, e outra no chão do lado de fora do muro?

Passo 1

Fala aí gente, tudo bem com vocês?

Nessa questão temos mais um probleminha de otimização.

Basicamente, temos um muro de 2 metros que está do lado exterior de uma parede lateral de um prédio. Queremos, a partir do solo do lado exterior ao muro, colocar uma escada que alcance a parede do prédio.

Essa escada não precisa alcançar o topo da parede do prédio, ela precisa apenas se apoiar nela. E, para isso, fica subentendido que precisamos considerar a parede grande o suficiente, beleza?

Basicamente, a situação descrita se encaixa nessa imagem:

Sacaram a ideia? A escada é justamente a hipotenusa desse triângulo.

Vamos então usar o teorema de Pitágoras para calcular a hipotenusa, e depois buscamos relacionar x e y para usar a otimização na expressão da hipotenusa. Ou seja, derivar e igualar a zero.

Vamo nessa!

Passo 2

Pelo teorema de Pitágoras, podemos dizer que:

h = x 2 + y 2

onde h é o comprimento da hipotenusa.

Pela semelhança de triângulos, temos:

y - 2 1 = 2 x - 1

Logo:

y = 2 x - 1 + 2

Substituindo na expressão da hipotenusa, temos:

h = x 2 + 2 x - 1 + 2 2 1 2

= x 2 + 4 x - 1 2 + 8 x - 1 + 4 1 2

Perfeito! Então encontramos uma expressão da hipotenusa apenas função de x . Aí é derivar, igualar a zero, e correr pro abraço 😊

Passo 3

Fazendo d h d x = 0 , vem que:

d h d x = x 2 + 4 x - 1 2 + 8 x - 1 + 4 1 2 '

Pela regra da cadeia:

d h d x = 1 2 ⋅ 1 x 2 + 4 x - 1 2 + 8 x - 1 + 4 1 2 ⋅ x 2 + 4 x - 1 2 + 8 x - 1 + 4 ' = 0

Pra essa expressão ser nula, precisamos que:

x 2 + 4 x - 1 2 + 8 x - 1 + 4 ' = 0

Então:

2 x - 8 x - 1 3 - 8 x - 1 2 = 0

Logo:

2 x = 8 x - 1 2 1 x - 1 + 1

= 8 x - 1 2 ⋅ x x - 1

Como a solução x = 0 não nos interessa (pois o tamanho da parede teria que ser infinito, o que é impossível), temos que:

x - 1 3 = 4

Tirando a raiz cúbica:

x - 1 = 4 1 3

∴ x = 1 + 4 1 3

Daí, temos que:

y = 2 1 + 4 1 3 - 1 + 2  

= 2 4 1 3 + 2

Logo:

y = 2 1 3 + 2

Assim:

h = 4 2 3 + 2 1 3 + 2 2 1 2

E é isso gente!

Muito obrigado pela atenção de vocês 😊

Resposta

h = 4 2 3 + 2 1 3 + 2 2 1 2

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