Sejam a , b > 0 . Determine, caso exista, o perímetro mínimo dos triângulos de base b e altura (relativa à base dada) a .

Passo 1

Fala aí pessoal, tudo bem com vocês?

Nessa questão, temos um triângulo cujo um dos lados vale b e a altura relativo à esse lado vale a . Precisamos determinar qual o perímetro mínimo desse triângulo.

Então gente, o perímetro é dado pela soma dos lados do triângulo. O problema é que temos apenas um dos lados do triângulo em questão, ou seja, precisamos relacionar b e a para encontrar os outros dois lados.

Para fazer isso vamos dividir o nosso lado b em dois pedaços, segundo a altura a . A partir daí, usamos o teorema de Pitágoras pra relacionar o lado do triângulo com a e com um dos pedaços de b .

Não pegou a ideia? Vem comigo que vai ficar bem explicadinho... 😊

Passo 2

Então, vamos desenhar o que o enunciado nos deu. Mas, vamos dividir também o lado b do triângulo em duas partes: m e n . Divisão feita segundo a altura a .

O perímetro desse triângulo será dado por:

S = x 1 + x 2 + b

∴ S - b = x 1 + x 2

Como b é uma constante, basicamente queremos minimizar a soma de x 1 e x 2 . Mas, da desigualdade das médias, temos que:

M é d i a   a r i t m é t i c a ≥ m é d i a   g e o m é t r i c a

Ou seja:

x 1 + x 2 2 ≥ x 1 x 2

Assim:

x 1 + x 2 ≥ 2 x 1 x 2

Logo, teremos o valor mínimo da soma justamente quando ocorrer a igualdade:

x 1 + x 2 = 2 x 1 x 2

Elevando ao quadrado essa equação, temos:

x 1 2 + 2 x 1 x 2 + x 2 2 = 4 x 1 x 2

∴ x 1 2 - 2 x 1 x 2 + x 2 2 = 0

Logo:

x 1 - x 2 2 = 0

Ou seja:

x 1 = x 2

Isso significa que a soma será mínima quando ocorrer a igualdade:

x 1 = x 2

Assim, como teremos um triângulo isósceles, para o m e n que vimos na figura anterior, vale que:

m = n = b 2

Mas, pelo teorema de Pitágoras podemos escrever que:

x 1 = a 2 + m 2

= a 2 + b 2 4

x 1 = 1 2 ⋅ 4 a 2 + b 2

E, como o triângulo é isósceles:

x 2 = 1 2 ⋅ 4 a 2 + b 2

Passo 3

Podemos então calcular o perímetro S do triângulo como sendo:

S = b + x 1 + x 2

= b + 2 ⋅ 1 2 ⋅ 4 a 2 + b 2

Logo:

S = b + b 2 + 4 a 2

É isso gente, matamos a questão!

Trouxemos uma ideia um pouco diferente, usando a desigualdade das médias.

Espero que vocês tenham curtido!

Resposta

b + b 2 + 4 a 2

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