Sejam r e s duas retas paralelas com a distância entre eles igual a 2 . Fixe um ponto C sobre a reta s . Fixe dois pontos A e B sobre a reta r de modo que a distância entre os pontos A e B seja igual a 1 . É possível encontrar um ponto D na reta s , de modo que o segmento B D intercepte o segmento A C em um ponto P de forma que a soma das áreas dos triângulos A B P   e D C P seja mínima? E seja máxima? Nos casos em que a resposta for afirmativa, determine a altura h do triângulo A B P .  

Passo 1

Fala aí galera, tudo beleza?

Nessa questão temos mais um probleminha de otimização.

Basicamente, temos dois triângulos opostos pelo vértice P , cujos lados estão nas retas r e s . Na reta r , temos o lado A B de tamanho 1 . Na reta s , temos o lado C D . Não sabemos o tamanho desse segundo lado, mas sabemos que a distância entre r e s vale 2 .

Massa!

Sabendo de tuudooo isso precisamos calcular as somas mínima e máxima das áreas dos triângulos, se elas existire.

Pra fazer isso, precisamos escrever uma expressão para a soma S em um caso genérico, derivá-la e igualar a zero. Assim, devemos ter duas soluções para a altura que corresponde a essas somas!

Vem comigo que tudo isso vai ficar bem mais claro 😊

Passo 2

Bom, pra começar vamos fazer um esboço da situação descrita no enunciado:

A partir dessa figura podemos escrever a área dos triângulos A B P e D P C .

S A B P = 1 ⋅ h 1 2

E:

S D P C = D C ⋅ h 2 2

Mas precisamos conseguir escrever D C em função dos outros valores que temos. Por isso, vamos usar a semelhança dos triângulos A P B e C P D (caso L A L ) . Temos:

D C h 2 = 1 h 1

Logo:

D C = h 2 h 1

Substituindo na expressão da área, vem que:

S D P C = h 2 2 2 h 1

Excelente! Vamos então escreve a soma da área desses triângulos como:

S = S A P B + S D P C

= h 1 2 + h 2 2 2 h 1

Mas, ainda pela figura também sabemos que:

h 1 + h 2 = 2

Portanto:

h 2 = 2 - h 1

Assim:

S = h 1 2 + 2 - h 1 2 2 h 1

Muito bom gente!

Passo 3

Agora que já temos uma expressão para a área S dos triângulos, podemos derivar em relação a h 2 e igualar a zero.

Temos:

d V d h 2 = h 1 2 + 2 - h 1 2 2 h 1 ' = 0

Usando que a derivada da soma é a soma das derivadas:

d V d h 2 = h 1 2 ' + 2 - h 1 2 2 h 1 '

Vamos fazer essas derivadas termo a termo:

h 1 2 ' = 1 2

O próximo termo é um pouco mais complicado, e precisamos usar a regra do quociente:

f g ' = f ' g - f g ' g 2

Daí, vamos ter:

h 2 2 2 2 - h 2 ' = 1 2 2 2 - h 1 - 1 ⋅ h 1 - 2 - h 1 2 h 1 2

= 1 2 h 1 2 ⋅ 2 h 1 2 - 4 h 1 - 4 + 4 h 1 - h 1 2

= 1 2 h 1 2 ⋅ ( h 1 2 - 4 )

Excelente! Voltando para a nossa equação principal, temos:

d V d h 2 =   1 2 + 1 2 h 1 2 ⋅ ( h 1 2 - 4 ) = 0

Vamos resolver essa equação:

- 1 2 =   1 2 h 1 2 ⋅ ( h 1 2 - 2 h 1 - 4 )

- h 1 2 = h 1 2 - 2 h 1 - 4

Assim:

2 h 1 2 - 4 = 0

Logo:

h 1 2 = 2

∴ h 1 = 2

Ou seja, só temos um ponto crítico, que pode ser de máximo ou mínimo. Mas, analisando bem a nossa expressão para S :

S = h 1 2 + 2 - h 1 2 2 h 1

Vemos que quando h 1 → 0 , a nossa expressão tende a infinito. Ou seja, não conseguimos determinar uma área máxima. Logo:

h 1 = 2

é ponto de mínimo.

É isso gente, espero que vocês tenham curtido!

Até a próxima 😉

Resposta

2 → ponto de mínimo

Exercícios de Livros Relacionados

Encontre a área do maior retângulo que pode ser inscrito na elipse x 2 a 2 + y 2 b 2 = 1
Um cilindro circular reto é inscrito em uma esfera de raio r . Encontre o maior volume possível desse cilindro.
20 Um foguete é lançado verticalmente pra cima e após t s ele está a s m do solo, onde s = 560 t - 16 t 2 e o sentido positivo é pra cima. Ache A velocidade do foguete 2s após o lançamentoQuanto tempo
19. Se uma bola for impulsionada de tal forma que ela adquira uma velocidade inicial de 24 cm/s ao descer um certo plano inclinado, então s = 24 t + 10 t 2 , onde s cm é a distância da bola ao ponto i
1 . Uma partícula move-se ao longo de uma reta horizontal, de acordo com a equação dada, onde s cm é a distância orientada da partícula a partir do ponto O em t s. Ache a velocidade instantânea v ( t