Sejam I um intervalo aberto e f : I ��� R uma função derivável. Assuma que vale o seguinte teorema: se a , b ∈ I , com a ≤ b , então para todo y entre f ' ( a ) e f ' ( b ) , existe x ∈ [ a , b ] tal que f ' x = y . (Observe que não supomos f de classe C 1 . Com base nesse teorema podemos afirmar que:

a ) Não existe função f : R → R , derivável, tal que f ' 0 = 1 e f ' x = 0 para todo x ≠ 0 .

b ) toda função derivável em I possui sua derivada f ' contínua em I .

c ) toda função derivável em I possui f ' descontínua em todo ponto de I .

d ) nenhuma das alternativas anteriores é correta.

Passo 1

E aí gente, tudo na paz com vocês?

Nessa questão o enunciado nos deu um teorema bem interessante e nos pediu para avaliar uma série de afirmações com base nele.

Basicamente, o teorema diz o seguinte:

Imagina que a gente tem uma função f , e a e b são dois pontos do domínio de f .

Daí, derivando f , temos os pontos f ' ( a ) e f ' ( b ) .

Para qualquer número y , que satisfaça:

f ' a < y < f ' ( b )

Vai existir um x tal que:

f ' x = y

Ou seja, ele tá afirmando que a função f ' varre todos os valores possíveis entre os pontos extremos da derivada de f .

Sacaram?

Com base nisso, vamos avaliar as afirmações que foram dadas.

Vem comigo!

Passo 2

Pra começar, no item a ) é afirmado que não existe uma função dos reais nos reais, tal que:

f ' 0 = 1 f ' x = 0 ,     ∀   x ≠ 0

Pra avaliar essa afirmação vamos supor que tal função exista.

A partir daí, verificamos se ela é capaz de obedecer ao teorema dado no enunciado.

Imagina que tomamos:

a = 0

b = 1

Então:

f ' a = 1

f ' b = 0

Assim, se tomarmos por exemplo:

y = 0,5

Temos que:

0 < 0,5 < 1

Ou seja:

f ' b < y < f ' ( a )

Sendo assim, pelo nosso teorema, existe x tal que:

f ' x = y = 0,5

Mas, isso é falso. Pois, a função f ' só assume valores do tipo 0 ou 1 , o que contraria o teorema.

Como o teorema foi contrariado, é sinal de que chegamos em um absurdo matemático e a nossa suposição inicial de que essa função realmente existe, é falsa.

Portanto, como o item a ) afirmou que não existia tal função, ele está verdadeiro!

Excelente!

Com isso já conseguimos marcar a resposta, mas vamos dar uma olhadinha nas outras afirmações.

Passo 3

O item b ) afirma que como uma consequência desse teorema f ' é contínua. Mas, isso não é verdade, nada foi afirmado sobre a continuidade de f no teorema em questão.

O mesmo tipo de erro ocorre no item c ) , que afirma o contrário. Ou seja, que toda função derivável é descontínua. Isso também é um absurdo matemático. Diversas funções deriváveis são contínuas, como as polinomiais por exemplo.

Então, realmente só tem a letra a ) .

Espero que vocês tenham curtido a solução e até a próxima gente 😊

Resposta

a )

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