Suponha que a área total de um tambor cilíndrico sem tampa deve ser 3 π   m ² . Determine o raio da base e a altura do mesmo para que sua capacidade seja maior possível. Qual é essa capacidade?

Passo 1

Fala aí galera, bora resolver o nosso exercício? Bom, para começar, vamos pensar aqui no nosso tambor de formato cilíndrico:

Olhando para o nosso cilindro, temos que ter em mente que a área total vai ser a área superficial + da tampa + da base:

A T o t a l = A S u p e r f i c i a l + A T a m p a + A B a s e

Porém, é dito no enunciado que não temos uma tampa, então:

A T o t a l = A S u p e r f i c i a l + A B a s e

A T o t a l = 2 π r h + π r ²

Além disso, ele pede a capacidade máxima, logo, ele quer o Volume do nosso cilindro:

V = π r ² h

Passo 2

Vamos lá. É dito no enunciado que:

A T o t a l = 2 π r h + π r 2 = 3 π

2 r h + r 2 = 3

Agora, vamos isolar h :

2 r h + r 2 = 3

h = 3 - r 2 2 r

Show, agora, vamos usar essa alteração na fórmula do nosso volume:

V = π r ² h

V = π r 2 3 - r 2 2 r

V ( r ) = π 2 3 r - r ³

Agora vamos trabalhar com as derivadas.

Passo 3

Vamos derivar:

V ( r ) = π 2 3 r - r ³

V ' ( r ) = 3 π 2 1 - r 2

Ok, lembra que o enunciado pede para a gente achar a capacidade máxima? Temos que igualar a zero as nossas derivadas:

V ' r = 3 π 2 1 - r 2 = 0

1 - r 2 = 0

r = ± 1

Como estamos trabalhando com raio, não podemos usar medidas negativas, então:

r = 1

No caso, r = 1 é um máximo local.

E agora para acharmos h , usaremos:

h = 3 - r 2 2 r = 3 - 1 2 = 1

Logo, o Volume:

V r = π 2 3 - 1 = 3 π 2

Resposta

r = 1 m

h = 1 m

V = 3 π 2   m 3

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