Um tanque tem a forma de um cone circular reto invertido, com 4 metros altura e 2 metros de raio da base. Se a água entra no tanque à razão de 0 . 001   m 3 / m i n , calcule aproximadamente a razão na qual o nível da àgua subindo quando a profundidade é de 1 metro.

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente determinar a razão na qual o nível da àgua está subindo quando a profundidade é de 1 metro. Então, vamos considerar que o volume de água nesse tanque cônico de altura h e raio r é dado por:

V = 1 3 π r 2 h

Que é a fórmula do volume do cone. Nesse caso, temos a informação de que d V d t = 1 1000   m 3 / m i n e queremos descobrir d h d t quando h = 1   m . Olha só nosso sistema:

A altura do nível de água, o raio da lâmina de água da superfície e o volume de água dependem do tempo t . E nós devemos descrever esse volume em função apenas da altura. Então, vamos usar a semelhança de triângulos, de acordo com a figura acima, para obter uma relação entre raio e altura. Daí vamos substituir essa relação na equação do volume do cone, derivar a equação implicitamente e aplicar os dados numéricos para descobrir nosso resultado.

Vamos lá!

Passo 2

Por semelhança de triângulo, na figura do passo 1 , temos:

r h = 2 4

Isolando r :

r = 2 h 4 → r = h 2

Passo 3

Substituindo r = h / 2 na equação do volume, temos:

V = 1 3 π r 2 h → V = 1 3 π h 2 2 ∙ h

V = 1 12 π h 3

Derivando essa expressão implicitamente, vamos ter:

d V d t   = 1 12 π ( 3 h 2 ) d h d t

Olhá só, apareceu o nosso termo de interesse d h d t . Então, substituindo h = 1   m e d V d t = 1 1000   m 3 / m i n , temos:

1 1000 = 1 12 π 3 ∙ 1 2 ∙ d h d t

π 4 ∙ d h d t = 1 1000 → d h d t = 4 1000 π

Simplificando:

d h d t = 1 250 π

Logo, a altura do nível de água está subindo a uma taxa de 1 250 π   m / m i n .

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

1 250 π   m / m i n

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