Exercícios Resolvidos de Rolamento sem Deslizamento

Um anel e um disco de mesma massa M e mesmo raio R rolam sem deslizar por uma rampa de altura significativamente maior que seus raios, partindo simultaneamente da mesma altura. Avalie as afirmações abaixo em relação à sua veracidade:

  1. Ao final da rampa a energia cinética de rotação I ω 2 2 do anel é maior do que a do disco.
  2. A energia mecânica total do sistema não se conserva por haver uma força de atrito agindo.
  3. Por haver um momento de inércia menor, o disco chega primeiro ao final da rampa.

São corretas as afirmações:

a) todas as afirmações

b) nenhuma das afirmações

c) I e II

d) I e III

e) II e III

Passo 1

Vamos dá uma olhada em cada uma das afirmações.

Na afirmação I, fala que a energia cinética de rotação do anel é maior que a do disco, quando estes chegam no final da rampa.

Nessa descida de rampa, os corpos rolam sem deslizar e podemos resolver essa questão pela conservação de energia mecânica.

Anel

M g h = M v ' 2 2 + I ω ' 2 2 = M v ' 2 2 + M R 2 ω ' 2 2

Disco

M g h = M v ' ' 2 2 + I ω ' ' 2 2 = M v ' ' 2 2 + M R 2 ω ' ' 2 4

Igualando as energias cinéticas finais, afinal, elas são iguais a M g h e portanto podem ser igualadas.

M v ' 2 2 + M R 2 ω ' 2 2 = M v ' ' 2 2 + M R 2 ω ' ' 2 4

Sabemos, que no movimento de rolamento:

v ( c m ) = ω R

M ω ' 2 R 2 2 + M R 2 ω ' 2 2 = M ω ' ' 2 R 2 2 + M R 2 ω ' ' 2 4

E portanto

ω ' 2 = 3 4 ω ' ' 2

Conhecendo essa relação para as velocidades angulares, podemos relacionar as energias cinéticas de rotação:

Anel

K r o t   a n e l = M R 2 ω ' 2 2 = 3   M R 2 ω ' ' 2 8

Disco

K r o t   d i s c o = M R 2 ω ' ' 2 4

Portanto, a energia cinética de rotação do anel é maior do que a do disco, no final da rampa.

Afirmativa Verdadeira.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Na afirmativa II, diz-se que por conta da força de atrito, a energia mecânica não pode ser conservada.

De fato, existe uma força de atrito que atua sobre os corpos, para que eles rolem. Mas como, nesse rolamento não há deslizamento, essa força de atrito é estática, isso é, o ponto de contato do corpo com o solo não se movimenta.

E como ele não se movimenta, a força de atrito não realiza trabalho.

Aí, é só você puxar da memória, que a energia mecânica ela se conserva se não houver trabalho de forças não-conservativas.

Ou seja, existe a força não-conservativa, o grande lance aqui, é que essa força não-conservativa não realiza trabalho, logo, a nossa querida energia mecânica se conserva, sim!

E não tem jeito, essa alternativa é Falsa.

Passo 3

Na última afirmativa, diz-se que o disco chega primeiro no final da rampa e isso ocorre por que ele possui um momento de inércia menor.

Vimos, no final da afirmativa I, que a velocidade angular do disco ( ω ' ' ) no final da rampa é maior que o do anel ( ω ' ).

ω ' 2 = 3 4 ω ' ' 2

Esse fator, 3 4 , aparece por conta da diferença entre os momentos de inércia dos dois corpos.

De fato, como o momento de inércia do disco é menor que o do anel, ele possui uma maior velocidade angular final.

E o aumento da sua velocidade angular é mais rápido que o aumento da velocidade angular do anel, isso é, ele percorre a rampa mais rápido que o anel.

Logo, temos aí, uma alternativa Verdadeira.

Resposta

Letra d)

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