Exercícios Resolvidos de Rolamento sem Deslizamento

Três objetos são liberados do repouso e rolam sem deslizar sobre um plano inclinado, que faz um ângulo θ com a horizontal. Os três objetos possuem a mesma massa M e raio R , e possuem respectivamente momentos de inércia I 1 = M R 2 , I 2 = M R 2 2 e I 3 = 2 M R 2 5 e acelerações a 1 , a 2 , e a 3 . O que se pode afirmar sobre os módulos das acelerações?

(a) a 1 < a 2 < a 3

(b) a 1 < a 3 < a 2

(c) a 2 < a 3 < a 1

(d) a 2 < a 1 < a 3

(e) a 3 < a 1 < a 2

(f) a 3 < a 2 < a 1

(g) Não é possível determinar

Passo 1

Já que em todos os casos não há deslizamento, todos eles precisam entrar em rotação para que descam o plano inclinado.

Assim, a ideia é que quanto maior o momento de inércia do corpo, mais dificuldade a entrar em rotação ele apresenta...

I 1 = M R 2

I 2 = 0,5 M R 2

I 3 = 0,4 M R 2

Portanto, o corpo que apresenta momento de inércia I 1 é o corpo com maior resistência a entrar em rotação e por isso apresenta a menor aceleração a 1 para descer a rampa.

Ele vem seguido do corpo com I 2 e por último I 3 . Logo:

a 1 < a 2 < a 3

Ficamos com a letra (a). Mas vamos fazer umas continhas para a gente confirmar essa ideia.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Primeiro vamos dar uma olhada no diagrama de forças sobre o corpo:

OBS: Lembrando que deve existir uma F a t para que o corpo desca sem deslizar.

A segunda Lei de Newton na direção da rampa é:

F R = m a

P s e n θ - F a t = m a

Enquanto a segunda Lei de Newton para rotação é:

τ R = I α

τ F a t + τ P + τ N = I α

Os torques das forças peso e normal são nulos pois a primeira está aplicada no centro de rotação do corpo e a segunda é paralela à direção do vetor posição r → .

Resta apenas o torque da força de atrito que está perpendicular ao vetor posição r → :

τ F a t + 0 + 0 = I α

R F a t = I α

Passo 3

Ficamos com essas duas equações:

P s e n θ - F a t = m a R F a t = I α

Como é um rolamento sem deslizamento, podemos usar a relação:

a = α R

Queremos a aceleração a , então vamos utilizar a expressão na segunda equação para subsituir α :

R F a t = I α

R F a t = I a R

Ficamos com

P s e n θ - F a t = m a R F a t = I R a

Podemos substituir a F a t da segunda equação na primeira.

Na segunda equação, temos:

F a t = I R 2 a

Substituindo isso na primeira:

P s e n θ - I R 2 a = m a

a m + I R 2 = P s e n θ

a = P s e n θ m + I R 2

Pronto, chegamos numa expressão para a aceleração.

Passo 4

a = P s e n θ m + I R 2

Repara que quanto maior for o momento de inércia I , maior será o denominador da fração. Ou seja, menor será a aceleração a .

O que confirma nossa ideia inicial:

a 1 < a 2 < a 3

Resposta

Letra (a)

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