Exercícios Resolvidos de Rolamento sem Deslizamento

Uma roda homogênea de massa M e raio R encontra-se inicialmente em repouso sobre uma superfície horizontal (ver figura abaixo). O plano da roda é vertical. A partir de um instante de tempo aplica-se uma força horizontal constante de módulo F no seu centro, e a roda passa a girar sem deslizar.

Sabe-se que o momento de inércia da roda em relação ao seu eixo de rotação é I = β M R 2 . Denotando a aceleração do seu centro de massa por a C M , pode-se afirmar que:

(a) F = M a C M

(b) F = β M a C M

(c) F = 1 - β M a C M

(d) F = 1 + β M a C M

(e) F = M a C M β

(f) F = M a C M 1 - β

(g) F = M a C M 1 + β

Passo 1

Para encontrar isso, vamos escrever as duas equações de movimento do disco.

Translação:

F R = m a

Rotação:

τ R = I α

E além disso, como o disco rola sem deslizar, sua aceleração do centro de massa a C M e sua aceleração angular α estão relacionados por:

a C M = α R

Juntando essas três equações conseguimos resolver o problema.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Quem são as forças sobre a roda?

Na direção do movimento temos a força F e a força de atrito F a t :

Então para a translação, temos:

F R = M a C M

F - F a t = M a C M

Passo 3

Agora, vamos escrever a quação para a rotação.

τ R = I α

O torque resultante será a soma dos torques de cada uma das forças atuando sobre o disco.

Além das forças F e F a t , temos também uma força peso P e uma força normal N , que são perpendiculares ao movimento.

τ P + τ N + τ F + τ F a t = I α

As forças P e F estão aplicadas no centro de massa do disco, então não geram torque.

A força N está na direção passando pelo centro de massa do disco, então, ela também não gera torque.

A única que gera torque é a força F a t , dado por:

τ F a t = R F a t

Então, temos:

0 + 0 + 0 + R F a t = I α

R F a t = I α

Substituindo o valor do momento de inércia:

R F a t = β M R 2 α

Cortando R :

F a t = β M R α

Passo 4

Ficamos com esse sisteminha aqui:

F - F a t = M a C M F a t = β M R α a C M = α R

Como queremos que a expressão final de F tenha a C M em vez de α , vamos substituir o α da segunda equação usando a relação:

a C M = α R

α = a C M R

Então:

F a t = β M R a C M R

F a t = β M a C M

Substituindo o valor de F a t na primeira equação, temos:

F - β M a C M = M a C M

F = M a C M + β M a C M

F = 1 + β M a C M

Resposta

Letra (d)

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