Exercícios Resolvidos de Rolamento sem Deslizamento

Seja um cilindro maciço e homogêneo, de raio R e massa M , (cilindro 1) que pode girar sem atrito em torno de um eixo vertical que passa pelo seu centro. O eixo está fixado em uma mesa horizontal, sobre a qual se encontra o cilindro. Enrolada na superfície curva do cilindro há uma corda inextensível, que passa por uma roldana e tem na extremidade livre um outro cilindro (cilindro 2) de massa M que cai sob a ação da gravidade. As massas da roldana e da corda são desprezíveis e a corda não desliza.

a) Nestas condições, escreva as equações de movimento do cilindro 1 e do cilindro 2

(isto é, escreva as equações que relacionam as forças existentes com as acelerações) e

calcule a tensão na corda.

Passo 1

(a)

O que tá acontecendo com os cilindros:

O 1 tá só rodando ali na mesa. Então a equação de movimento dele é aquela de rotação:

τ → = I α →

τ → = r → × F →

O 2 tá só caindo. Ele não gira. Então a equação de movimento dele é a segunda lei de Newton:

F R → = m a →

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Então vamos começar com o cilindro 1:

τ → = r → × F →

A distância entre o eixo e o ponto de aplicação da força (Tração) que faz o cilindro girar é o próprio raio do cilindro. E o ângulo entre os vetores r → e T → é 90 ° ,   o l h a n d o   p o r   c i m a   d o   c i l n d r o   1 :

Então o módulo do torque é:

τ = R T sen ⁡ 90

τ = R T

Agora, usando a relação entre o torque e a aceleração angular α :

τ = I α

R T = I α

Show! Essa é a nossa equação de movimento para o cilindro 1.

Agora vamos para o cilindro 2:

F R = M a

Como o cilindro tá descendo:

P - T = M a

M g - T = M a

Beleza. Já temos as duas equações de movimento, uma para i cilindro 1 e outra para o cilindro 2.

Agora, vamos calcular a tensão na corda.

Passo 3

As equações de movimento são essas aqui:

R T = I α

M g - T = M a

Usando aquela relação da cinemática angular a = α R e que o momento de inércia de um cilindro que gira em torno de um eixo que passa pelo centro de massa é I = M R 2 2 , podemos reescrever a primeira equação:

R T = I a R

R T = M R a 2

Isolando o a :

a = 2 T M

Beleza, sabemos a aceleração, vamos substituir ela na outra equação de movimento pra acha a tensão, que é o que ele pede:

M g - T = M a

M g - T = M 2 T M

Arrumando isso e isolando o T:

T = M g 3

Prontinho!!

Sucesso?

Resposta

(a)

T = M g 3

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