Exercícios Resolvidos de Rolamento sem Deslizamento

Uma casca esférica de massa m   e raio r   =   5   c m é abandonada em repouso na beirada de um hemisfério de raio R   =   1,6 r , deslizando sem escorregar, como mostra a figura. Considere a aceleração gravitacional local g   =   10   m / s 2 . Quando a esfera passa pelo ponto mais baixo do hemisfério, calcule:

(a) Os módulos das velocidades angular da esfera e do centro de massa da esfera.

(b) A fração da energia cinética total correspondente à energia cinética de rotação.

(c) A forca exercida pela esfera sobre o hemisfério, expressa em termos de m g .

Dado: o momento de inércia de uma casca esférica de massa m e raio r em relação a um eixo que passa por um de seus diâmetros é 2 m r 2 / 3 .

Passo 1

a) Como a força de atrito não realiza trabalho em um rolamento sem deslizamento, temos que a energia mecânica se conserva. Se ω é a velocidade angular do centro de massa no ponto mais baixo da trajetória, temos que, também neste ponto:

v c m → = ω r

Se fizermos então a conservação da energia mecânica, tudo em relação ao centro de massa da casca:

m g R - r = m v c m 2 2 + I c m ω 2 2

Isolando v c m :

v c m = 2 R - r g 1 + I c m m r 2 = 6 5 R - r g = 0,6 m s

Já para calcular o ω

ω = v c m r = 0,6 0,05 = 12   r a d / s

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

b) Para calcular essa razão, temos que:

K r o t = I c m ω 2 2

E:

K t o t = m v c m 2 2 + I c m ω 2 2

Logo:

K r o t K t o t = I c m m r 2 1 + I c m m r 2 = 2 3 1 + 2 3 = 0,4

Portanto, a energia cinética de rotação contribui com 40 % para a energia cinética total.

Passo 3

No ponto mais baixo da trajetória, sabemos que a força resultante que aponta para cima deve ser igual a força centrípeta.

No entanto, lembre-se que o raio da trajetória não é R , e sim R - r , já que estamos considerando o centro de massa da casca.

Portanto:

N - m g = m v c m 2 R - r

N = 1 + v c m 2 R - r g m g

Da letra (a), sabemos que:

v c m 2 R - r g = 2 1 + I c m m r 2 = 6 5

Portanto:

N = 11 5 m g

Resposta

a) v c m = 0,6 m s e ω = 12 r a d s

b) 40 %

c) N = 11 5 m g

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