5) Uma molécula tri-atômica linear é formada por dois átomos laterais idênticos A de massa m ligados a um átomo central B de massa M . Essa molécula apresenta, no caso geral, um movimento de rotação superposto a um movimento de vibração linear em que os dois átomos laterais se aproximam e se afastam simultaneamente do átomo central, como se estivessem presos por duas molas. Se em um dado instante, quando a distância entre os átomos laterais é d , o módulo da velocidade angular da molécula é ω , então o módulo dessa velocidade angular quando a distância mudar para D será:

(a) 2 m M d 2 D 2 ω  

(b) M 2 m d 2 D 2 ω  

(c)   M 2 m D 2 d 2 ω  

(d) d 2 D 2 ω  

e) D 2 d 2 ω  

Passo 1

Fala aí, galerinhaa! Tudo certo??Esse problema nos fala de uma molécula composta por dois átomos A iguais presos por uma espécie de mola à um terceiro átomo B . Até aí nada de interessante. O que acontece é que o problema nos fala que a molécula fica girando em relação ao centro e os átomos da ponta ficam se aproximando e se afastando do átomo do centro.

O problema nos dá duas situações: uma delas é quando os átomos estão à uma distância d entre si e nos fala que o sistema tem uma velocidade angular ω . A segunda situação é quando os átomos da ponta estão distantes um do outro com uma distância dada por D ele nos pede ω ' nessa situação.Gente, como não há ninguém puxando ou mexendo nessa molécula, só existem forças internas agindo no sistema. Isso nos dá que o torque total na molécula é nulo:

τ e x t = 0

Quando isso acontece, a gente usa a conservação do momento angular: L = L '

E lembrando que o momento angular é dado por: L = I ω

Onde I é momento de inércia das partículas em relação ao eixo de rotação, a gente consegue encontrar ω ' dessa situação igualando os momentos angulares antes e depois daquele movimento que o problema nos falou!

Então vamos fazer isso!!

Passo 2

Bom, vamos começar calculando o momento de inércia I do sistema quando as moléculas A estão separadas por d .Aqui lembramos que:

I =   ∑ i m r i 2 I = m B r B 2 +   m A r A 2 +   m A r A 2

Como estamos fazendo o movimento em relação à molécula do meio, ela não contribui para o momento de inércia ( r = 0 ) . As moléculas A estão distantes do centro de r A = d 2

Então temos: I = m d 2 2 +   m d 2 2 I = 2 m d 2 2 = 2 m d 2 4 I = m d 2 2

Lembrando que nesse primeiro momento temos uma velocidade angular ω , então o momento angular é: L = I ω L = m d 2 ω 2

Passo 3

Agora vamos fazer a mesma coisa que o passo anterior mas quando as moléculas estão distantes entre si de uma distância D .   Dessa maneira temos: I ' =   m B r ' B 2 +   m A r ' A 2 +   m A r A ' 2

Mais uma vez o movimento ocorre em relação à partícula do meio, ou seja, r ' B = 0 . Como essa partícula está no meio do caminho das duas partículas A , temos que r A ' = D / 2 . Então:

I ' = m A D 2 2 +   m A D 2 2 = m D 2 2 + m D 2 2 Arrumando um pouco isso, temos: I ' = m D 2 2

E aí, podemos calcular o momento angular supondo que a molécula agora tem velocidade angular ω ' : L ' = I ' ω ' L ' = m D 2 ω ' 2

Passo 4

Agora a gente usa a conservação do momento angular para podermos encontrar ω ' : L = L ' m d 2 ω 2 = m D 2 ω ' 2

d 2 ω = D 2 ω ' Dessa maneira temos:

ω ' = d 2 D 2 ω

E aí resolvemos essa 😊 Vamos para a próxima??

Resposta

(d) d 2 D 2 ω  

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