Exercícios Resolvidos de Rolamento sem Deslizamento

A figura a seguir mostra um objeto uniforme que rola sem deslizar sobre um plano inclinado. O objeto possui massa M , raio R e momento de inércia I 1 ao redor do eixo de rotação. Sabe-se que quando o objeto é liberado do repouso a partir de uma certa altura H , ele é lançado horizontalmente ao chegar à base do plano inclinado, tocando o solo a uma distância horizontal d 1 do ponto de lançamento.

Considere, agora, que o objeto é substituído por outro, de mesma massa M , mesmo raio R e momento de inércia I 2 ( I 2 > I 1 ) ao redor do eixo de rotação. Nesse caso, quando solto do repouso da mesma altura H , o novo objeto rola sem deslizar, e toca o solo a uma distância d 2 do ponto de lançamento.

Pode-se afirmar que:

  1. d 1 < d 2
  2. d 1 = d 2
  3. d 1 > d 2

Passo 1

Temos que, nos dois casos, o objeto deslizará do topo da rampa até a sua base, chegando com uma certa velocidade. Aquele objeto que chegar com maior velocidade na base da rampa é o que terá maior alcance!

Vamos olhar para o objeto 1 primeiro

Temos pela conservação de energia mecânica

E t o p o = E b a s e

A energia no topo é puramente potencial gravitacional

E t o p o = M g H

Já a energia na base será cinética de translação e rotação!

E b a s e = 1 2 M v 1 2 + 1 2 I 1 ω 1 2

Como o objeto rola sem deslizar, podemos relacionar a velocidade angular com a velocidade translacional

v 1 = ω 1 R

Assim, pela conservação da energia mecânica, temos

E t o p o = E b a s e

M g H = 1 2 M v 1 2 + 1 2 I 1 R 2 v 1 2 = v 1 2 2 M + I 1 R 2

v 1 = 2 M g H M + I 1 R 2

Da mesma forma, a velocidade na base do objeto 2 é dada por

v 2 = 2 M g H M + I 2 R 2

Assim como I 2 > I 1 , temos que v 1 > v 2 , ou seja, o alcance do corpo 1 é maior que o alcance do corpo 2 .

Outra forma de pensar nisso é que o corpo 2 tem maior inércia de rotação, logo, uma maior parte da energia total acabará virando energia cinética rotacional, sobrando menos para a energia cinética translacional!

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Resposta

(C)

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