Exercícios Resolvidos de Rolamento sem Deslizamento

Uma bola de sinuca de raio r rola sem deslizar do topo de um domo esférico com raio R , onde R   >   r . Considere que a velocidade inicial da bola de sinuca de raio r é desprezível. Encontre o módulo da velocidade angular da bola de sinuca no momento em que ela perde contato com o domo.

Formulário: Momento de inércia da esfera I C M = 2 M R 2 5 .

(a) ω = 10 17 g r 2 R + r  

(b) ω = 10 7 g r 2 R + r  

(c) ω = 2 3 g r 2 R + r  

(d) ω = 10 7 g r 2 R  

(e) ω = 17 10 g r 2 R  

Passo 1

Bom, para essa questão precisamos relacionar 3 coisas...

A primeira delas é que para a bolinha seguir uma trajetória circular, sua aceleração resultante deve ter exatamente o valor da aceleração centrípeta:

a c t p = v 2 R a i o

Onde v é a velocidade da bola. Se a aceleração resultante tiver qualquer valor fora disso, a bola não seguirá mais a trajetória circular do domo.

A segunda delas é que a energia se conserva nesse sistema.

E M 0 = E M

Isso acontece porque:

A força peso P → atuando na partícula é conservativa (não retira energia do sistema) e a força normal N → não vai realizar trabalho W N = 0 ao longo do deslocamento da bolinha por ser sempre perpendicular a ele, ou seja, ela também não retira energia do sistema.

Além disso, a força de atrito F → a t é estática (não há deslizamento), então seu trabalho também será zero W F a t = 0 , por isso, até a força de atrito, não vai retirar energia do sistema.

A terceira delas é que a bolinha desce o domo sem deslizar. Para isso acontecer, sua velocidade v está relacionada com a sua velocidade angular ω por meio da relação:

v = ω r

Calma, eu sei que é muita coisa, mas segura na minha mão e vem comigo!

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Vamos pensar na aceleração centripeta (primeira).

Quem é o raio da trajetória circular da bola?

Cuidado! Não é o raio do domo R , pois não estamos tratando de uma partícula.

A bola tem uma certa dimensão, então temos que pegar a distância até seu centro de massa (centro da bola):

a c t p = v 2 R a i o

a c t p = v 2 R + r

Esse é o valor “modelo” que a aceleração resultanteda bola deveria seguir para ter uma trajetória circular.

Passo 3

Ainda sobre essa hstória de força centrípeta, vamos analisar a bolinha em si.

Queremos calcular a aceleração resultante nela e ver até quando ela segue aquele “modelo” que achamos para aceleração centrípeta a c t p .

Então, vamos analisar as forças sobre a bolinha:

Queremos decompor essas forças na direção radial (direção do raio) e tangencial ao domo (mesma direção da velocidade da bolinha).

Repare que essas direções estão sempre mudando... diferente de um plano inclinado. Mas ainda assim, vamos relacionar com um ângulo θ , que vai variar:

OBS: Esse ângulo θ poderia ser definido em outro lugar, desde que coerente com o que queremos. O ponto é, “putz não pensei em botar o ângulo exatamente alí”, relaxa que tem outras possibilidades.

F → a t e N → já estão nas direções que queremos analisar, só falta P → :

Vamos calcular a força resultante F R na direção radial, lembrando que ela deve apontar para o centro:

F R = P c o s θ - N

Pela segunda lei de Newton:

F R = m a

m a = P c o s θ - N

Agora, fazemos a ligação entre as coisas... para a bolinha seguir a trajetória circular do domo, sua aceleração deve ter o valor da centrípeta:

m a c t p = P c o s θ - N

m v 2 R + r = P c o s θ - N

Passo 4

Agora, precisamos pensar um pouquinho!

Lá no início, a velocidade da bolinha v é zero, então, o termo da esquerda começa bem menor que o termo P c o s θ :

m v 2 R + r < P c o s θ

Porém, quando a bolinha vai descendo, sua velocidade vai aumentando:

m v 2 R + r → a u m e n t a

Já o ângulo θ vai aumentando, então o c o s θ vai diminuindo:

P c o s θ → d i m i n u i

O que vai justando essa diferença na equação é a força normal N . Ela começa com valor alto e, à medida que o termo da esquerda e o P c o s θ vão se aproximando, a força normal N vai diminuindo até chegar a zero.

Conclusão:

O instante limite onde a bolinha vai deixar de seguir a trajetória circular do domo é quando N é zero:

N = 0

Isso representa o instante onde a bolinha perde o contato com a superfície do domo, “descolando” dele.

Logo, na situação limite que queremos:

m v 2 R + r = P c o s θ - N

m v 2 R + r = P c o s θ - 0

m v 2 R + r = P c o s θ

Substituindo o valor da força peso:

m v 2 R + r = m g c o s θ

v 2 R + r = g c o s θ

Passo 5

Agora vamos a nossa segunda relação.

Como a energia mecânica se conserva no sistema, podemos achar a velocidade v da bolinha a partir da altura h que ela deceu da situação inicial.

A bolinha começa em repouso, então sua energia inicial E M 0 é toda potencial gravitacional U g 0 :

E M 0 = U g 0

A altura do centro de massa da bolinha no início é a soma dos raios do domo R com o da bolinha r :

E M 0 = m g R + r

Já nos instantes seguintes, a bolinha tem uma energia potencial gravitacional U g e uma energia cinétca K :

E M = U g + K

E M = m g h + K

Mas quem é essa altura h da bolinha?

Podemos relacionar com o mesmo ângulo θ que determinamos lá no Passo 3.

h = R + r c o s θ

Então, conservando a energia mecânica, temos:

m g R + r = m g h + K

m g R + r = m g R + r c o s θ + K

K = m g R + r - m g R + r c o s θ

E quem vai ser a energia cinética K da bolinha?

Passo 6

A bolinha tem uma velocidade de translação v e uma velocidade de rotação ω .

Então, ela terá uma energia cinética de translação K T e uma energia cinética de rotação K R :

K = K T + K R

K = m v 2 2 + I ω 2 2

Do formulário, temos o momento de inércia da bolinha com relação ao seu centro de massa. É esse mesmo que queremos:

K = m v 2 2 + 2 m r 2 5 ω 2 2

K = m 2 v 2 + 2 r 2 ω 2 5

Mas podemos melhorar isso ai...

Lembra da nossa terceira relação?

A velocidade da bola v está relacionada com a velocidade angular ω para que a bola não deslize:

v = ω r

Então:

K = m 2 ω r 2 + 2 r 2 ω 2 5

K = m r 2 ω 2 2 1 + 2 5

K = m r 2 ω 2 2 7 5

K = 7 10 m r 2 ω 2

Opaaa, o negócio ta ficando mais bonito!

Passo 7

Agora, já fizemos toda a parte mais complicada do problema.

Vamos começar uma seção de

Okay, não somos técnicos... mas vamos ainda vamos fazer as substituições.

Vamos rever tudo que achamos até agora:

v 2 R + r = g c o s θ   1 K = m g R + r - m g R + r c o s θ   2 K = 7 10 m r 2 ω 2   3    

Vamos jogar o valor da energia cinética (3) para dentro da conservação da energia (2):

7 10 m r 2 ω 2 = m g R + r - m g R + r c o s θ

Cortando a massa m , temos:

7 10 r 2 ω 2 = g R + r - g R + r c o s θ

Agora, vamos isolar o c o s θ da aceleração centrípeta (1):

v 2 R + r = g c o s θ

c o s θ = v 2 g R + r

Substituindo na equação da energia, temos:

7 10 r 2 ω 2 = g R + r - g R + r v 2 g R + r

7 10 r 2 ω 2 = g R + r - v 2

Usando novamente que v = ω r :

7 10 r 2 ω 2 = g R + r - ω r 2

7 10 r 2 ω 2 + r 2 ω 2 = g R + r

ω 2 r 2 7 10 + 1 = g R + r

ω 2 r 2 17 10 = g R + r

Passando dividindo o termo que multiplica ω :

ω 2 = g R + r r 2 17 10

ω 2 = 10 17 g r 2 R + r

E assim, finalmente...

Desiste não, hahah

Finalmente, conseguimos que:

ω = 10 17 g r 2 R + r

Ficamos com a letra (a).

Resposta

Letra (a)

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