Exercícios Resolvidos de Rolamento sem Deslizamento

Uma esfera de massa M e raio R parte do repouso e rola sem deslizar sobre uma rampa que se encontra presa no solo. Essa rampa não é plana, como indica a figura, onde também está indicado que a esfera deixa a rampa no ponto B , após seu centro de massa descer uma altura desconhecida. Observa-se que o centro de massa da esfera deixa a rampa com uma velocidade horizontal de módulo V 0 e que ela atinge um solo a uma distância d da base da rampa. Desconsidere o efeito da resistência do ar com a esfera e use que o momento de inércia da esfera em relação a um eixo que passa pelo CM é I = 2 5 M R 2 . Considere que a esfera não perde o contato com a rampa até atingir o ponto B .

a) Qual é a diferença de altura do centro de massa da esfera entre o instante em que ela foi abandonada e aquele em que ela perde o contato com a rampa, no ponto B ?

b) Qual é o trabalho realizado por cada uma das forças que atuam sobre a esfera no deslocamento do item (a)?

c) Qual é a altura do ponto B em relação ao solo?

d) Usando os vetores unitários definidos na figura, determine o vetor velocidade do centro de massa da esfera no instante imediatamente anterior a atingir o solo.

e) Qual é a velocidade angular da esfera no instante de item (d)

Passo 1

a) Na trajetória pedida, entre o instante que a esfera foi largada até perder o contato com a pista, temos 3 forças agindo: o peso, a normal e a força de atrito, certo?

Não esquece que essa força de atrito tem que existir para que haja o rolamento sem deslizamento!

A força de atrito e a normal agem no ponto de contato da esfera com a pista, que neste caso de rolamento, está sempre em repouso. Portanto, nenhuma das duas realiza trabalho, facilitando nossa vida.

Portanto, conservando a energia mecânica, temos:

K f - K i = - ∆ U

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Como a esfera parte do repouso, temos que:

K i = 0

Já quando ela perde o contato, há duas energias cinéticas na esfera, a de translação e a de rotação.

K f = M V c m 2 2 + I ω 2 2

Temos que:

V c m = V 0

ω = V 0 R

E:

I = 2 M R 2 5

Logo:

K f = M V 0 2 2 + 1 2 2 M R 2 5 V 0 2 R 2 = 7 10 M V 0 2

Passo 3

Voltando para a primeira expressão:

7 10 M V 0 2 = M g H

Temos:

H = 7 V 0 2 10 g

Passo 4

b) Como dito antes, a única força que realiza trabalho é a força peso, portanto:

W P = - ∆ U = - - M g H

Logo:

W P = 7 M V 0 2 10

Passo 5

c) Depois que perde o contato com a rampa, a esfera se desloca horizontalmente uma distância d , certo? Com isso nós podemos encontrar o tempo de voo da esfera:

t = d V 0

Com o tempo, podemos encontrar a altura que ela caiu depois de sair da rampa:

h = g t 2 2 = g 2 d 2 V 0 2

Como esta conta foi feita utilizando a esfera como uma partícula com a massa concentrada no centro de massa da esfera, precisamos somar o raio da mesma para encontrar a distância correta do ponto B ao solo:

h = g d 2 2 V 0 2 + R

Passo 6

d) Como não há aceleração na horizontal no lançamento, a velocidade horizontal se mantém, portanto:

V → x = V 0 i ^

Já para encontrarmos a velocidade na vertical, usaremos a equação da velocidade do MRUV, com somente a gravidade como aceleração:

V y = - g t = - g d V 0

Portanto:

V → = V 0 i ^ - g d V 0 j ^

Passo 7

e) Depois de perder o contato com a rampa a única força sobre a esfera é a força peso. Como o peso atua no centro de massa da esfera, seu torque é zero. Como o torque no percurso de B até o solo é nulo, temos que a velocidade angular é conservada.

Então para saber a velocidade angular da esfera imediatamente antes de chegar ao solo basta calcular a velocidade angular no ponto B

Quando a esfera está no ponto B , ela está rolando sem deslizar, então sua velocidade angular é dada por:

ω f = V 0 R

Resposta

a) H = 7 V 0 2 10 g

b) W P = 7 M V 0 2 10

c) h = g d 2 2 V 0 2 + R

d) V → = V 0 i ^ - g d V 0 j ^

e) ω f = V 0 R

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