Exercícios Resolvidos de Rolamento sem Deslizamento

Uma roda de massa m , raio R e momento de inércia I = 1 2 m R 2 em relação ao seu eixo de simetria, tem seu eixo ligado a uma mola ideal de constante k , preso a uma parede. A roda gira sem deslizar sobre um piso com atrito estático μ . x é a posição dp centro de massa com relação ao ponto de equilíbrio.

(a) Para um movimento para a direita (valores positivos de x ), qual direção da aceleração do centro de massa? A direção da aceleração angular em relação ao centro de massa (horário ou anti-horário)? A direção do atrito estático, f a ? E a direção do torque, τ ?

(b) Encontre a força de atrito f a , em função de k e x .

(c) Encontr a força resultante F R em função de k e x .

Passo 1

Para um movimento para a direita (posição x é positiva), a mola está esticada. Assim, temos que a força elástica está para a esquerda:

Isso acontece tanto se a roda estiver ainda andando para a direita e desacelerando quanto se ela já estiver retornando em direção ao ponto de equilíbrio acelerando.

Em ambos esses movimentos, a tendência de deslizamento da roda é para o sentido horário, portanto a força de atrito f a age contra essa tendência e tenta girar a roda no sentido anti-horário:

Esse sentido da força de atrito às vezes gera uma confusão...

Mas olha só, todas as forças atuando sobre o disco:

Tanto a força elástica F e l quanto a força peso P estão aplicada no próprio centro de massa, por isso não geram torque.

Já a força normal, também não gera torque pois está numa direção que passa pelo centro de massa.

Então, a ÚNCIA força que exerce TORQUE é a força de atrito f a .

O disco rola sem deslizar, ou seja, a força de atrito é a única responsável por alterar a rotação do disco.

Assim, quando o disco está andando para a direita com x positivo sua translação e rotação são assim:

Mas a roda está desacelerando devido à força elástica.

E para isso a força de f a atua tentando diminnuir sua velocidade angular:

Então, agora vamos responder a letra (a).

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

(a) Para um movimento para a direita (valores positivos de x ), qual direção da aceleração do centro de massa?

A aceleração está na direção da força resultante:

F → R = m a →

Se a força elástica aponta para a esquerda, sua aceleração será para a esquerda.

ainda que a força de atrito atue para a direita, ela é sempre menor que a força elástica:

F e l - f a = m a

A aceleração angular será no sentido anti-horário.

Consequência do torque da força de atrito f a , também nesse sentido.

Passo 3

Na letra (b), queremos a força de atrito f a .

Para isso vamos aplicar a segunda lei de Newton para translação e para rotação.

F R = m a

F e l - f a = m a

k x - f a = m a

f a = k x - m a

Passo 4

Aplicando a segunda lei de Newton para rotação, temos:

τ R = I α

Vimos no PASSO 1 que apenas a força de atrito f a gera torque:

f a R = I α

Como o rolamento acontece sem deslizamento, podemos relacionar a aceleração do centro de massa a com a aceleração angular α :

a = α R

α = a R

Substituindo isso, temos:

f a R = I a R

Além disso, o momento de inércia da roda foi dado:

I = 1 2 m R 2

Substituindo isso:

f a R = 1 2 m R 2 a R

Cortando os raios R :

f a R = 1 2 m R a

f a = 1 2 m a

a = 2 f a m

Passo 5

Substituindo o valor da aceleração a na segunda lei de Newton para translação, temos:

f a = k x - m a

f a = k x - m 2 f a m

f a = k x - 2 f a

f a = k x 3

Passo 6

Na letra (c), queremos a força resultante F R .

Bom, nós calculamos isso na Segunda lei de Newton para translação:

F R = F e l - f a

Mas, agora sabemos o valor de f a em função de k e x :

F R = k x - k x 3

F R = 2 k x 3

Resposta

(a)

Aceleração do centro de massa para a esquerda.

Aceleração angular no sentido anti-horário.

Força de atrito para a direita.

Torque no sentido anti-horário.

(b)

f a = k x 3

(c) F R = 2 k x 3

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