Exercícios Resolvidos de Rolamento sem Deslizamento

Um anel fino de raio R e massa M é mantido verticalmente apoiado no solo e depois liberado. Suponha que a extremidade de apoio ( p o n t o   O ) não escorregue. A aceleração gravitacional é g . (Dado: momento de inércia de um anel fino de raio R e massa M em relação a um eixo que passa pelo seu centro de massa paralelo ao seu diâmetro é I C M = 1 2 M R ² )

  1. Determine o momento de inércia do anel em relação ao ponto de apoio O.
  2. Determine a velocidade angular do anel imediatamente antes dele tocar o solo.
  3. Determine a velocidade da extremidade mais distante do ponto de apoio imediatamente antes dela tocar o solo.

Passo 1

Beleza! Questãozinha vale 3 pontos, então se errar, a prova começa com 7. Vamos pegar todos os detalhes pra mandar benzão na prova! Bora lá!

Na letra a ele nos pede o momento de inércia do anel em relação ao ponto de apoio O.

Que é mais ou menos isso aqui, oh!

Isso te lembra alguma teorema? Porque me lembrou aqui!

O Teorema dos Eixos Paralelos.

Pra calcular o momento de inércia em um eixo que não é o centro de massa basta usar esse teoremazinho:

I O = I C M + m d 2

I O a gente quer saber;

I C M ele deu lá no enunciado que é 1 2 M R ² ;

m é a massa que é M ;

E d é a distância entre o eixo que passa pelo CM e o eixo O, que no nosso caso é o raio R .

Loogo:

I O = 1 2 M R ² + M R ² = 3 2 M R ²

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

b)

Boy! Só eu achei essa b mal pedida? No enunciado ele fala que estava apoiado no solo e foi liberado . Se estava apoiado ele já tocava, não?

Oo

Mas, enfim!

Pelo que entendi ele quer saber a velocidade angular de quando o anel cai. (Faz mais sentido).

E isso pode ser calculado simplesmente por conservação de energia.

E i n i c i a l = E f i n a l

K i n i c i a l + U i n i c i a l = K f i n a l + U f i n a l

Ele não falou, mas supondo que o anel sai do repouso, K i n i c i a l = 0   e U f i n a l = 0 já que o anel vai pro chão.

Assim, teremos:

U i n i c i a l = K f i n a l

Lembrando que vamos sempre trabalhar em relação ao centro de massa, a energia potencial, calculada sempre por U = m g h , vai ser:

U = m g R

Isso porque a altura do centro de massa é R .

E como pra o anel cair ele vai só rodar, não vai transladar nada, sua energia cinética pode ser apenas a de rotação, calculada por K = I ω ² 2 .

Desta forma, teremos:

m g R = I ω 2 2

Passo 3

O I que a gente usa é aquele que calculamos na letra a.

Ouxe, por que?

A gente sempre usa o I em relação ao ponto que está rotacionando. No caso de o anel caindo, o ponto que fica fixo é o ponto O, então temos que usar é o I em relação ao ponto O, show?

Logo:

M g R = 3 4 M R ² ω 2

Isolando o ω , vai ficar:

ω 2 = 4 g 3 R

ω = 4 g 3 R

Passo 4

c)

Num movimento de rotação sem deslizar, como esse aí, temos que:

Na base v = 0 .

No CM v = ω R

E no ponto oposto à base v = 2 ω R

Logo, o meu v   ali vai ser:

v = 2 ω R = 2 4 g 3 R R = 4 g R 3

Resposta

  1. I = 3 2 M R ²
  2. ω = 4 g 3 R
  3. v = 4 g R 3

Esse conteúdo é exclusivo para cadastrados.

Cadastre-se grátis no maior portal de exatas do Brasil!

Relaxa, não vamos publicar nada no seu nome.

  • Resumões direto ao ponto
    Resumões
    direto ao ponto
  • Exercícios resolvidos passo a passo
    Exercícios resolvidos
    passo a passo
  • Videoaulas incríveis
    Videoaulas
    incríveis
  • Aulões Salva-Vidas
    Aulões
    Salva-Vidas