Exercícios Resolvidos de Rolamento sem Deslizamento

O disco mostrado na figura tem massa M e raio R e está sendo puxado por uma força horizontal F → aplicada em seu centro de massa. Ele rola sem deslizar sobre uma superfície horizontal áspera. O coeficiente de atrito estático entre o disco e a superfície é μ e . Obtenha os resultados em função dos dados fornecidos.

a) Faça o diagrama de forças sobre o disco. Determine uma expressão literal para o módulo da aceleração angular 𝛼 do disco. Faça o mesmo para o módulo e o sentido da força de atrito F a t .

Passo 1

Sobre o diagrama de forças...

Temos a força peso P → sobre o centro do disco para baixo, a força normal N → no ponto de contato para cima.

Como a bola tende a arrastar para a direita com a translação, a força de atrito F → a t está contra essa tendência de deslizamento e atua para a esquerda, fazendo a bola girar no sentido horário.

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Passo 2

Agora, queremos a aceleração angular α e a força de atrito F a t .

Para encontrar isso, vamos escrever as duas equações de movimento do disco.

Translação:

F R = m a

Rotação:

τ R = I α

E além disso, como o disco rola sem deslizar, sua aceleração do centro de massa a C M e sua aceleração angular α estão relacionados por:

a C M = α R

Juntando essas três equações conseguimos resolver o problema.

Passo 3

Na equação de translação, temos: F R = M a C M

F - F a t = M a C M

Temos que tomar cuidado para NÃO substituir a força de atrito por:

F a t = μ e N

Pois, essa é a expressão para a força de atrito estático máxima, mas não podemos garantir isso na questão (aquele dado μ e é pegadinha).

Passo 4

Para a rotação, temos:

τ R = I α

O torque resultante será a soma dos torques de cada uma das forças:

τ P + τ N + τ F + τ F a t = I α

Vamos a cada um deles...

A força peso está aplicada no próprio centro de massa, então ele está a uma distância r nula, por isso não gera torque:

r = 0 → τ P = 0

Para a força normal, temos o vetor r → paralelo ao vetor N → :

Logo, o torque dessa força também é nulo:

τ → N = r → × N → = 0 →

τ N = 0

A força F também está aplicada no centro do disco, então seu torque é nulo:

r = 0 → τ F = 0

Já a força de atrito vai gerar um torque, seus vetores r → e F → a t são:

τ → F a t = r → × F → a t

Como os vetores são perpendiculares, temos que o módulo do torque é:

τ F a t = R F a t

Assim, vamos ter:

τ P + τ N + τ F + τ F a t = I α

0 + 0 + 0 + R F a t = I α

R F a t = I α

Passo 5

Juntando as nossas duas equações de movimento com a condição de rolamento sem deslizamento, temos esse sistema:

F - F a t = M a C M R F a t = I α a C M = α R

Queremos α , então, vamos usar a relação de não deslizamento para retirar a C M da primeira equação:

F - F a t = M α R

F - F a t = M R α

O momento de inércia de um disco é:

I C M = 1 2 M R 2

Substituindo esse valor na segunda equação, temos:

R F a t = 1 2 M R 2 α

F a t = M R 2 α

Então, nosso sistema ficou:

F - F a t = M R α F a t = M R 2 α

Somando as duas equações, temos:

F - F a t + F a t = M R α + M R 2 α

F = α M R + M R 2

F = α 3 M R 2

Achamos que a aceleração angular é:

α = 2 F 3 M R

E conseguimos substituir esse valor na segunda equação para achar a força de atrito também:

F a t = M R 2 2 F 3 M R

F a t = F 3

A direção e o sentido já estão na figura, mas também podemos escrever a força de atrito apontando para o sentido negativo do eixo y :

F → a t = F 3   - j ^

Resposta

α = 2 F 3 M R

F a t = F 3

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