Exercícios Resolvidos de Rolamento sem Deslizamento

Energia Potencial e Conservação da Energia Mecânica, Corpos Rígidos, Rotação, Dinâmica de Rotação

Um disco de raio r e massa M desce sem deslizar, a partir do repouso, a rampa inclinada conforme a figura. Após chegar à base da rampa A B , ele segue na horizontal para a pista em forma de circunferência com raio R e sobe essa pista rolando sem deslizar. O ângulo entre a rampa e a horizontal é θ   =   30 ° . O raio do disco r vale r   = R 10 e o comprimento D da rampa, do ponto A ao ponto B , vale D   =   8 R , onde R é o raio da pista circular. A aceleração da gravidade local é g . A linha tracejada corresponde a uma possível trajetória do centro de massa C M do disco.

a ) Faça o diagrama de forças para o disco durante o percurso de A até B . A partir das leis sobre torque e força, obtenha uma expressão literal, em função de g , para o valor da aceleração do C M a c m do disco entre A e B . Use o sistema de coordenadas desenhado na

figura.

b ) Indique claramente o sentido da força de atrito estática F a t feita pela superfície da rampa sobre o disco. Determine uma expressão literal para F a t , em função de M e g . Resolva através da segunda lei de Newton aplicada ao centro de massa do disco.

c ) Encontre uma expressão literal para o valor da velocidade angular do disco ω B em

torno de um eixo horizontal que passe em seu C M , quando o disco chega ao ponto B , em

função de g e R . Resolva através do uso de leis físicas referentes à energia mecânica.

d ) O valor mínimo da velocidade do C M do disco para passar no ponto mais alto da

pista circular C , sem perder o contato com a pista, é v m i n c m = g . ( R - r ) = 9 10 . g . R .

Obtenha uma expressão literal para a velocidade do C M do disco no ponto C , v c m , em

função de g e R através de leis físicas sobre a energia mecânica. Compare com o valor

mínimo dado e diga se o disco passará pelo ponto C em contato com a pista ou se descolará dela antes de chegar a C .

Passo 1

a )

Vamos primeiro determinar as forças que atuam:

Agora podemos determinar as equações do movimento rotacional! Como usaremos o módulo, fique atento à regra da mão direita para verificar se os sinais estão corretos!

τ = I . α

r . F a t = M . r 2 2 . a c m r

F a t = M . a c m 2

Para o movimento translacional, temos:

M . g . sen ⁡ θ - F a t = M . a c m

F a t = M ( g . sen ⁡ θ - a c m )

Substituindo o valor da força de atrito na equação com movimento rotacional, temos:

M g . sen ⁡ θ - a c m = M . a c m 2

Isolando a aceleração do centro de massa e substituindo θ = 30 ° , fica:

a c m = g 3

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

b )

Como já calculamos a equação do movimento translacional, temos:

M . g . sen ⁡ θ - F a t = M . a c m

Substituindo o valos da aceleração pelo que achamos no item a , temos:

M . g . sen ⁡ θ - F a t = M . g 3

F a t = M . g . 1 2 - M . g 3

F a t = M . g 6

F → a t = M . g 6 ( - i ^ )

O sentido está indicado na figura do item a !

Passo 3

c )

Para determinar a velocidade angular do disco no ponto B , vamos recorrer à conservação da energia mecânica, Olha só!

E m e c a n t e s = E m e c d e p o i s

Como o objeto parte do repouso, antes ele possui apenas energia potencial gravitacional! Depois ele possui apenas energia cinética rotacional e translacional. Ou seja:

M . g . D . sen ⁡ θ = M . v c m 2 2 + I . ω B 2 2

Como o disco rola sem deslizar, temos v c m = ω B . r !

M . g . D . sen ⁡ θ = M . ω B 2 . r 2 2 + M . r 2 2 ω B 2 2

M . g . D . 1 2 = M . ω B 2 . r 2 2 + M . r 2 2 ω B 2 2

Isolando a velocidade angular, temos:

ω B 2 = 2 . g . D 3 . r 2

Substituindo D , fica:

ω B 2 = 2 . g . 80 . r 3 . r 2

ω B = 160 . g 3 . r

Passo 4

d )

Para determinar a velocidade do centro de massa no ponto C , vamos novamente recorrer à conservação da energia mecânica!

E m e c a n t e s = E m e c d e p o i s

M . g . D . sen ⁡ θ = M . g . 2 . R - 2 . r + M . v c m 2 2 + I . ω C 2 2

Ahh..estamos conservando energia do ponto A para o ponto C !

Substituindo ω C por v c m r , temos:

M . g . D . sen ⁡ θ = M . g . 2 . R - 2 . r + M . v c m 2 2 + M . r 2 2 . v c m r 2 2

M . g . D . 1 2 = M . g . 2 . R - 2 . r + M . v c m 2 2 + M . r 2 2 . v c m r 2 2

Simplificando, temos:

g . D . 1 2 = g . 2 . R - 2 . r + 3 . v c m 2 4

Substituindo D e r :

g . 4 . R = g . 9 . R 5 +   3 . v c m 2 4

Isolando a velocidade, temos:

v c m 2 = 2,9 . g . R

v c m = 2,9   . g . R

Como a velocidade encontrada é maior do que a mínima necessária, o disco não descolará antes de chegar a C .

Resposta

a )   a c m = g 3

b )   F a t = M . g 6

c )   ω B = 160 . g 3 . r

d )   v c m = 2,9   . g . R ;   N ã o   d e s c o l a r á !

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