Exercícios Resolvidos de Rolamento sem Deslizamento

Um cilindro homogêneo de massa M e raio R sobe um plano inclinado de um ângulo θ em relação à horizontal sob a ação de uma força F → constante, como mostra a figura abaixo. O cilindro parte do repouso e sua velocidade angular aumenta com o tempo. Sabe-se que o cilindro rola sem deslizar e que seu momento de inércia em relação a um eixo perpendicular que passa pelo seu centro de massa é I C M = 1 2 M R 2 .

a) No rolamento sem deslizamento de um corpo rígido de raio R , a relação entre os módulos da aceleração do centro de massa de um corpo rígido A C M e a aceleração angular do corpo em relação ao centro de massa α é A C M = α R . Justifique essa relação.

Passo 1

Na letra (a), queremos mostrar aquela relação de rolamento sem deslizamento:

A C M = α R

De onde vem isso?

Primeiro de tudo, um rolamento é a soma de um movimento de translação com um movimento de rotação.

Movimento de translação:

No movimento de translação, todos os pontos apresentam uma velocidade v T igual à velocidade do centro de massa:

v T = v C M

Movimento de rotação:

Enquanto no movimento de rotação, todos os pontos apresentam uma velocidade v R dada pela velocidade angular ω do corpo vezes sua distância ao eixo de rotação R :

v R = ω R

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Ah, até aí okay... mas como eu mostro aquela relação?

Aí que está a sacada!

Rolamento (translação+rotação):

Para que não haja deslizamento, o ponto de contato com o chão deve estar parado, assim, suas velocidades translação e de rotação devem se cancelar:

v = 0

v T + v R = 0

v C M + - ω R = 0

v C M = ω R

Então, apenas com essa relação entre v C M e ω , o ponto de contato na extremidade não irá deslizar.

Por último, basta derivar essa expressão:

d v C M d t = d ω d t R

A derivada da velocidade v é a aceleração a , enquanto a derivada da velocidade angular ω é a aceleração angular α :

a C M = α R

Esse conteúdo é exclusivo para cadastrados.

Cadastre-se grátis no maior portal de exatas do Brasil!

Relaxa, não vamos publicar nada no seu nome.

  • Resumões direto ao ponto
    Resumões
    direto ao ponto
  • Exercícios resolvidos passo a passo
    Exercícios resolvidos
    passo a passo
  • Videoaulas incríveis
    Videoaulas
    incríveis
  • Aulões Salva-Vidas
    Aulões
    Salva-Vidas

Muita matéria pra estudar?

Dexter Estudando

Cadastre-se para acessar os Resumões Gratuitos

Relaxa, não vamos publicar nada no seu nome.

  • Resumões direto ao ponto
    Resumões
    direto ao ponto
  • Exercícios resolvidos passo a passo
    Exercícios resolvidos
    passo a passo
  • Videoaulas incríveis
    Videoaulas
    incríveis
  • Aulões Salva-Vidas
    Aulões
    Salva-Vidas