Exercícios Resolvidos de Rolamento sem Deslizamento

Uma esfera desce um plano inclinado de um ângulo θ em relação à direção horizontal, rolando sem deslizar, sujeita à ação apenas das forças peso, normal e atrito. É correto afirmar que:

(a) Apenas a força de atrito exerce torque em relação ao centro de massa da esfera.

(b) Apenas a força peso exerce torque em relação ao centro de massa da esfera.

(c) As forças peso e atrito exercem trabalho diferente de zero sobre a esfera.

(d) A força normal não exerce torque em relação ao centro de massa pois atua no centro de massa da esfera.

(e) O centro de massa da esfera desce a rampa com aceleração constante igual a g s e n θ .

(f) Os trabalhos realizados pelas forças normal e de atrito se cancelam.

Passo 1

Olhando a situação de lado, temos as seguintes forças:

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

(a) Apenas a força de atrito exerce torque em relação ao centro de massa da esfera.

(b) Apenas a força peso exerce torque em relação ao centro de massa da esfera.

Vamos analisar os torques dessas forças.

Como a força peso P → está aplicada no centro de rotação da esfera, ela não gera torque:

τ P = 0

Já a força normal, não está aplicada no centro de rotação, porém ela está numa direção que passa em cima do centro de rotação da esfera. Logo, seu torque também é nulo:

τ N = 0

A única que realiza torque realmente é a força de atrito, que está aplicada na extremidade da esfera e numa direção que não passa por cima do centro de rotação.

Inclusive, como essa força é tangencial à esfera, seu torque é:

τ F a t = R F a t

Logo, a letra (a) é verdadeira, e a (b) falsa.

Já achamos nossa resposta mas vamos dar uma olhadinha nas outras.

Passo 3

(c) As forças peso e atrito exercem trabalho diferente de zero sobre a esfera.

(f) Os trabalhos realizados pelas forças normal e de atrito se cancelam.

Essas afirmativas são falsas, pois ambas as forças não exercem trabalho sobre a esfera.

Entretanto, seus trabalhos são nulos por razões diferentes.

O trabalho é dado pelo produto escalar entre a força e o deslocamento:

W F = F → ∙ d →

Força normal:

W N = N → ∙ d → = N d c o s θ

Como a força é perpendicular ao deslocamento, temos:

W N = N d c o s 90 ° = 0

Ou seja, quando a força é perpendicular ao deslocamento ela não realiza trabalho.

Força de atrito:

Agora a questão é um pouco diferente.

Como não há deslizamento, o ponto de contato entre a esfera e o chão está sempre parado.

Logo, não há deslocamento no ponto de aplicação da força de atrito.

Por isso, o trabalho dessa força é nulo.

Passo 4

(d) A força normal não exerce torque em relação ao centro de massa pois atua no centro de massa da esfera.

Como vimos no PASSO 2, realmente a força normal não exerce torque sobre o centro de massa.

Porém, ela não está aplicada no centro de massa e sim no ponto de contato da esfera com o chão.

Afirmativa (d) está errada.

Passo 5

(e) O centro de massa da esfera desce a rampa com aceleração constante igual a g s e n θ .

Aplicando a segunda lei de Newton para translação na direção da rampa temos:

Temos a componente P s e n θ para baixo da rampa e a força de atrito F a t para cima da rampa, logo:

F R = m a

m g s e n θ - F a t = m a

Assim, a aceleração é diferente do que diz a afirmativa:

a = g s e n θ - F a t m

A afirmativa (e) também é falsa.

Ficamos com a letra (a).

Resposta

Letra (a)

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