Exercícios Resolvidos de Rolamento sem Deslizamento

Uma esfera maciça em repouso está sobre um plano inclinado e possui uma fita ideal enrolada em torno de sua periferia vertical. Essa fita passa em polia ideal e está ligada a um bloco. Veja figura. Após liberar o conjunto, a esfera sobe o plano sem deslizar e o bloco desce.

Encontre uma expressão literal para o módulo da aceleração do CM da esfera e da aceleração do bloco. São dados o raio da esfera 𝑅, o ângulo 𝜃, as massas da esfera 𝑀 e do bloco 𝑚 e a aceleração da gravidade 𝑔. A aceleração da fita no ponto superior da esfera é duas vezes a aceleração do CM da esfera.

Dados: Esfera: I C M = 2 5 M R 2

(a) Escreva a equação do movimento para o bloco acompanhada do respectivo diagrama de corpo livre.

(b) Escreva a equação do movimento de translação da esfera acompanhada do respectivo diagrama de corpo livre. Faça o mesmo para a equação do movimento de rotação da esfera. Escreva também a condição de rolamento sem deslizamento.

(c) Resolva o sistema de equações e encontre uma expressão literal para o módulo da aceleração do CM da esfera a C M em função dos dados fornecidos.

Passo 1

Vamos resumir isso ai...

A figura é essa:

O bloco desce e a esfera sobe sem deslizar no plano.

Nossos dados são esses:

R θ M m g

Além disso é dado que a aceleração da fita é duas vezes a aceleração do centro de massa da esfera.

Como a aceleração do bloco é a mesma que a da fita podemos escrever:

a B = 2 a C M

Queremos no final das contas a aceleração do centro de massa da esfera a C M .

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

(a) Escreva a equação do movimento para o bloco acompanhada do respectivo diagrama de corpo livre.

O bloco está sujeito apenas à duas forças, a força peso P → B e a força de tração T → :

Agora, só falta escrever a segunda lei de Newton para o bloco.

F R = m a

Como o bloco desce, a força peso do bloco vence a “briga” e tem o mesmo sinal da aceleração do bloco:

P B - T = m a B

m g - T = m a B

Passo 3

(b) Escreva a equação do movimento de translação da esfera acompanhada do respectivo diagrama de corpo livre. Faça o mesmo para a equação do movimento de rotação da esfera. Escreva também a condição de rolamento sem deslizamento.

Opaa, vários pedidos... vamos um por um.

Vamos começar com o diagrama de forças da esfera.

A força peso P E está para baixo, a força normal N está perpendicular ao plano, a força de tração T está na direção da fita (como a polia é ideal, tem o mesmo valor que a tração no bloco).

A força de atrito F a t não conseguimos saber ao certo seu sentido, pois dependendo dos valores de massas e dimensões, ela poderia estar em qualquer um dos sentidos.

Então, vamos “chutar” para cima da rampa e podemos ver que lá na frente isso vai cortar e não influenciar no que queremos.

Caso tivéssemos valores numérico, bastava substituí-los e caso achássemos um valor negativo de F a t , significa que a força estará no sentido contrário que chutamos inicialmente.

Para a equação de translação da esfera, vamos aplicar novamente a segunda lei de Newton.

Os eixos já estão definidos na imagem do enunciado, eixo x para cima da rampa e eixo y , perpendicular à rampa.

Vamos decompor a força peso P → nesses eixos:

Para o eixo x :

F R = m a

T + F a t - M g s e n θ = M a C M

Para o eixo y , temos um equilíbrio de forças:

F R = 0

N - M g c o s θ = 0

N = M g c o s θ

Passo 4

Vamos agora escrever a equação de rotação da esfera.

τ R = I α

O torque resultante será a soma dos torques de todas as forças com relação ao centro de massa da esfera:

τ P + τ N + τ T + τ F a t = I C M α

A força peso está aplicada no centro de massa da esfera, portanto ela não gera torque:

τ P = 0

A força normal é calculada pelo seguinte produto vetorial:

τ → N = r → × N →

Como esses vetores estão na mesma direção, o produto vetorial resultará em zero:

τ N = 0

Já os torques das forças de atrito F a t e de tração serão:

τ → T = r → T × T →

τ → F a t = r → F a t × F → a t

Ambas são perpendiculares aos seus vetores r → , além disso, eles estão na periferia da esfera r = R , então, o módulo de seus torques serão:

τ T = R T

τ F a t = R F a t

Entretanto, τ T tenta fazer a esfera girar no sentido horário enquanto τ F a t tenta fazer a esfera girar no sentido anti-horário, portanto, esses torques tem sinais contrários.

Como a esfera está subindo, vamos considerar o sentido de sua aceleração (horário) positivo:

τ T + τ F a t = I C M α

R T + - R F a t = I C M α

R T - R F a t = I C M α

Além disso, queremos a condição de rolamento sem deslizamento:

a C M = α R

Como a aceleração do bloco também se relaciona com isso, podemos escrever também aquela condição já dada no enunciado:

a B = 2 a C M

Passo 5

(c) Resolva o sistema de equações e encontre uma expressão literal para o módulo da aceleração do CM da esfera a C M em função dos dados fornecidos.

Temos que tomar cuidado para não nos enrolarmos.

Temos as seguintes equações:

1   m g - T = m a B 2   T + F a t - M g s e n θ = M a C M 3   N = M g c o s θ 4   R T - R F a t = I C M α 5   a C M = α R 6   a B = 2 a C M

Eu sei, são muitas equações, mas vamos passo a passo...

Queremos achar encontrar a aceleração do centro de massa da esfera a C M .

Então um bom primeiro passo é retirar aceleração angular α substituindo por a C M . Logo, vamos usar a relação (5) em (4):

R T - R F a t = I C M α

R T - R F a t = I C M a C M R

Além disso, vamos usar a expressão para o momento de inércia de uma esfera com um eixo passando pelo seu centro:

I C M = 2 5 M R 2

Então, ficamos com:

R T - R F a t = 2 5 M R 2 a C M R

Podemos cortar aquele R 2 com um R do lado esquerdo e o outro R no denominador:

T - F a t = 2 5 M a C M

Vamos chamar essa equação de (7):

T - F a t = 2 5 M a C M     7

Guarda essa (7) aí.

Agora vamos pegar essa expressão (1):

m g - T = m a B

E usar a relação (6):

a B = 2 a C M

Então, temos:

m g - T = m 2 a C M

Vamos chamar essa equação de (8):

m g - T = 2 m a C M   8

Passo 6

Agora, o próximo passo é pegar tudo que tem a C M , tirando as equações iniciais que já usamos:

T + F a t - M g s e n θ = M a C M   2 T - F a t = 2 5 M a C M   7 m g - T = 2 m a C M   8

Beleza, tudo que tem a C M está do lado direito, então vamos somar essas equações para eliminar T e F a t , que não são dados.

Somando (2) com (7):

T + F a t - M g s e n θ + T - F a t = M a C M + 2 5 M a C M

2 T - M g s e n θ = M a C M 1 + 2 5

2 T - M g s e n θ = M a C M 7 5

Agora, para eliminar T , vamos somar isso com 2 × 8 :

2 T - M g s e n θ + 2 m g - T =   M a C M 7 5 + 2 2 m a C M

2 m g - M g s e n θ = a C M 7 5 M + 4 m

E FINALMENTE...

a C M = 2 m g - M g s e n θ 7 5 M + 4 m

Resposta

(a)

m g - T = m a B

(b)

Translação:

T + F a t - M g s e n θ = M a C M

N = M g c o s θ

Rotação:

R T - R F a t = I C M α

Relações para que não haja deslizamento:

a C M = α R

a B = 2 a C M

(c)

a C M = 2 m g - M g s e n θ 7 5 M + 4 m

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