Exercícios Resolvidos de Rolamento sem Deslizamento

Um disco homogêneo de massa M e raio R está enrolado a um fio ideal que está preso ao teto e é solto a partir do repouso, no instante t = 0 . O fio não desliza sobre a extremidade do disco, conforme mostra a figura.

Sabendo que o momento de inércia do disco, em relação ao eixo perpendicular a ele que passa pelo seu centro de massa, é I C M = M R 2 2 , podemos afirmar que:

(a) O centro de massa do disco desce com aceleração de módulo A C M = 2 g 3 .

(b) O centro de massa do disco desce com aceleração de módulo A C M = g .

(c) Enquanto o disco desce, a tração no fio é T = M g .

(d) O centro de massa do disco desce com aceleração de módulo A C M = 2 g .

(e) O centro de massa do disco desce com aceleração de módulo A C M = g 2 .

(f) Enquanto o disco desce, a tração no fio é T = M g 2 .

(g) Enquanto o disco desce, a tração no fio é T = 3 M g .

Passo 1

Dando uma olhada rápida nas alternativas, vemos que precisamos encontrar a aceleração do centro de massa do disco e também sua força de tração.

Vamos começar escrevendo a segunda lei de Newton:

F R = m a

Temos atuando sobre o disco duas forças, a força peso e a força de tração:

Além disso, a massa do disco é M e sua aceleração do chamaremos de A C M :

P - T = M A C M

A força peso é:

P = M g

Então ficamos com:

M g - T = M A C M

Pronto, já escrevemos a equação de forças para a translação.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Vamos escrever a segunda lei de Newton para rotação, agora:

τ R = I α

τ P + τ T = I α

Dá uma olhada novamente nas forças atuando sobre o disco:

O torque da força peso será nulo, pois ele está aplicado no próprio eixo de rotação do disco.

τ P = 0

Enquanto isso, a força de tração é perpendicular ao vetor posição, portanto, seu torque será o produto entre o módulo da força de tração T e o módulo do vetor posição R :

τ T = R T

Assim, temos que:

0 + R T = I α

Além disso, o enunciado nos deu que o momento de inércia de um disco é dado por:

I C M = M R 2 2

Logo:

R T = M R 2 2 α

T = M R 2 α

Existe mais uma relação que podemos usar nessa situação.

Como não há deslizamento entre o disco e o fio, temos obrigatoriamente que sua velocidade do centro de massa se relaciona com sua velocidade angular a partir da relação:

A C M = α R

α = A C M R

Substituindo α na equação do torque resultante, temos:

T = M R 2 A C M R

T = M A C M 2

Pronto, já escrevemos a equação dos torques para a rotação.

Passo 3

Temos, então, duas equações:

M g - T = M A C M T = M A C M 2

Vamos substituir primeiro o valor de T da segunda equação na primeira para encontrar o valor de A C M :

M g - M A C M 2 = M A C M

Cortando M , temos:

g - A C M 2 = A C M

3 A C M 2 = g

A C M = 2 g 3

Agora, vamos substituir o valor de A C M de volta na primeira para encontrar o valor de T :

T = M A C M 2

T = M 2 2 g 3

T = M g 3

Conseguimos o valor da aceleração do centro de massa do disco A C M e da força de tração T . Encontramos, então, que apenas a alternativa (a) está correta.

Resposta

Letra (a)

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