Exercícios Resolvidos de Rolamento sem Deslizamento

Um balde pequeno de massa m está preso a uma corda de massa desprezível que, por sua vez, encontra-se enrolada em torno de uma roldana cilíndrica de massa M e raio R como mostrado na figura. A roldana gira em torno de seu eixo de simetria. O balde é liberado a partir do repouso de uma altura h do solo. No movimento que se segue, a corda se desenrola do cilindro sem deslizamento.

A. Adote um sistema de coordenadas, esboce o diagrama de forças para o balde e para a roldana e escreva todas as forças explicitamente no sistema de coordenadas adotado.

B. Baseado nas forças identificadas em (A), escreva as equações de movimento para o balde e para a roldana.

C. Determine o vetor aceleração do CM do balde. Calcule a magnitude dessa aceleração para os casos extremos em que m / M ≪   1   e   m / M ≫ 1 .

D. Determine a velocidade com que o CM do balde atinje o chão. Considere o balde como uma partícula pontual.

E. Verifique explicitamente a validade do teorema do trabalho-energia cinética para o sistema “balde+roldana+corda”.

Passo 1

(A)

Beleza, vamos lá!

Temos que fazer um desenho com todas as forças.

Ambos tem massa e sofrem atração gravitacional, então ambos tem peso.

Ambos tem um fio, então ambos tem tração.

Só isso?

Não! Alguma coisa tem que segurar a roldana lá. O pino tá preso em algum lugar, e ele que tá segurando a roldana, vamos chamar essa força que segura a roldana de F R → .

Show! Então vamos desenhar:

Agora, só uma observação: Podemos dizer alguma coisa em relação as trações T B → e T R → ?

Sim! A massa da corda é desprezível, isso implica que a intensidade da trações nos pontos diferentes da corda são iguais. Ou seja:

T B → = T R → = T

Mas é só o módulo tá? Olha que uma tá apontando pra cima e outra pra baixo!

Ele pediu pra gente especificar um eixo de coordenadas, e escrever todas as forças explicitamente, então vamos lá:

Para o balde:

P B → = m g - y ^

T B → = T y ^

Para a roldana:

P R → = M g - y ^

T R → = T - y ^

F R → = F R y ^

Beleza! Sucesso?

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Agora ele quer as equações de movimento. Ou seja, aplicamos a segunda lei de newton para cada um dos corpos.

Para o balde:

F r e s → = m a →

P B → + T B → = m a →

m g - y ^ + T y ^ = m a →

Show!

Agora, para a roldana! Como a roldana está fixa, o CM dela tem aceleração nula:

F r e s → = M a → = 0

P R → + T R → + F R → = 0

M g - y ^ + T - y ^ + F R y ^ = 0

Show, então essa é a rquação de movimento para o CM da roldana.

Além disso, como a roldana tá girando, já que o fio tá se deenrolando dela, temos uma rotação ali, então:

τ r e s → = I α →

Temos três forças sendo aplicadas na roldana: o peso, a tração e a força de sustentação. Quais delas produzem torque, ou seja, quais delas podem provocar uma rotação na roldana?

Se você olha lá na figura, o peso e a força de sustentação são aplicadas no CM da roldana, assim, não importa o quão forte eles sejam, mas a roldana não gira por ação deles.

Já a tração é diferente, percebe? Ela tá na borda. Essa produz rotação! Então o torque resultante é devido a ela!

r → × T → = I α →

Lembrando que esse r → é o braço de alavanca da força, ou seja é a distância entre o eixo de rotação até o ponto em que a força tá sendo aplicada, nesse caso é

r → = R ( - x ^ )

Então:

r → × T → = I α →

R - x ^ × T - y ^ = I α →

R T z ^ = I α →

O momento de inércia para um cilindro girando em torno de um eixo que passa pelo CM vale:

I = M R 2 2

Então:

R T z ^ = M R 2 2 α →

Maravilha!

Passo 3

(C)

Agora é só uma continuação da letra B, porque ele pede a aceleração do CM do balde. Então é só brincar com as equações do CM e isolar a aceleração.

A aceleração do CM do balde é a mesma aceleração que o fio vai se desenrolando lá na borda da roldana, então vamos usar essa última equação do passo 2:

R T z ^ = M R 2 2 α →

Isolando a aceleração:

α → = 2 T M R z ^

Usando o fato do rolamento ser sem deslizamento, temos:

a → C M = α → × r →

a → C M = 2 T M R z ^ × R ( - x ^ )

a → C M = - 2 T M y ^

Beleza, acabou?

Não!

Ainda não sabemos que é a tração.

Vamos usar então a equação de translação do balde:

m g - y ^ + T y ^ = m a → C M

Isolando a tração: T y ^ = m a → C M + m g y ^

Agora, é substituir na equação que a gente tinha:

a → C M = - 2 M m a → C M + m g y ^

Maraviha, agora é só ajeitar e teremos:

a → C M = - g 1 + M 2 m ( y ^ )

Suave!

Vamos ver os casos extremos que o enunciado falou pra gente, que m / M ≪   1   e   m / M ≫ 1 .

Vamos reescrever:

m / M ≪   1   ⇔ m ≪ M

Ou seja, estamos analisando o caso em que a roldana é muito mais pesada que o balde. Olhando pra equação:

a → C M = - g 1 + M 2 m ( y ^ )

Se a parte do denominador for muito grande, então a fração vai pra zero, ou seja a aceleração vai a zero.

Já para o segundo caso:

m / M ≫ 1 ⇔ m ≫ M

Então M 2 m ≈ 0 .

Estamos analisando o caso em que o balde é muito mais pesado que a roldana.

Olhando pra equação:

a → C M = - g 1 + M 2 m ( y ^ )

Temos que:   a → C M ≈ - g ( y ^ )

Passo 4

(D)

Queremos a velocidade com que o balde chega ao chão.

Então, lá no enunciado ele fala que o balde sai do repouso, então v 0 = 0 . Nós não sabemos nada sobre o tempo que demorou essa descida, mas sabemos o quanto o balde andou, ou seja, ∆ S = h :

Usando Torriceli:

v 2 = v 0 2 + 2 a ∆ S

v 2 = v 0 2 + 2 a 0 - h

v 2 = v 0 2 - 2 a h

Substituindo os valores:

v 2 = - 2 - g 1 + M 2 m h

v = g 1 + M 2 m 2 h

Show!

Passo 5

(E)

Queremos verificar o teorema trabalho energia cinética:

W r e s = ∆ K

Então, primeiro vamos calcular a ∆ K , entre o momento em que o bloco tá parado a uma altura h e quando ele chega no solo com uma velocidade v , que a gente acabou de calcular na letra D. E como o nosso sistema é balde+corda+roldana, não podemos esquecer da energia cinética de rotação da roldana.

∆ K = m v 2 2 - 0 + I C M ω 2 2

O momento de inércia para um cilindro girando em torno de um eixo que passa pelo CM vale:

I = M R 2 2

E como rola sem deslizar, podemos escrever:

ω 2 = v 2 R 2

Então:

∆ K = m v 2 2 + 1 2 M R 2 2 v 2 R 2

Substituindo a velocidade que achamos na letra D:

∆ K = m 2 g 1 + M 2 m 2 h + M 4 g 1 + M 2 m 2 h

Ajeitando isso:

∆ K = g h 1 + M 2 m m + M 2

Colocando m em evidência, podemos simplificar e ficamos com:

∆ K = m g h

Agora vamos calcular o trabalho de todas as forças durante a descida do balde e ver se o resultado é igual a esse aí, se for, aí tá show! O teorema trabalho energia vai ser válido. Então vamos lá, escrevendo o trabalho de todas as forças que atuam no sistema balde+fio+roldana:

W r e s = W T B + W P B + W P R + W T R + W F R

Agora, vamos com calma:

Vamos analisar W P R e W F R , que são os trabalhos realizados pelo peso da roldana e pela força de sustentação da roldana. Então, durante o deslocamento do balde, essas forças não alteram a energia cinética do sistema. Já que é só o balde está se movendo.

Agora, vamos analisar W T B e W T R . A gente viu que as trações tem módulos iguais, mas estão apontando em sentidos opostos. Então o trabalho de uma vai ser menos o trabalho da outra. Aí eles vão zerar.

Então, só nos resta o trabalho do peso do bloco:

W r e s = W P B = m g h

Maravilha! O resultado é igual ao da variação da energia cinética que a gente encontrou. Então o teorema é válido!

Resposta

(A)

Para o balde:

P B → = m g - y ^

T B → = T y ^

Para a roldana:

P R → = M g - y ^

T R → = T - y ^

F R → = F R y ^

(B) Para o balde:

m g - y ^ + T y ^ = m a →

Para a roldana:

M g - y ^ + T - y ^ + F R y ^ = 0

R T z ^ = M R 2 2 α →

(C) a → C M = - g 1 + M 2 m ( y ^ )

m ≪ M ⟹ a → C M ≈ 0 →

m ≫ M ⟹   a → C M ≈ - g ( y ^ )

(D)

v = g 1 + M 2 m 2 h

(E) Verificação

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