Exercícios Resolvidos de Rolamento sem Deslizamento

Considere um carretel de raio externo R , massa M e momento de inércia em relação ao centro de massa I c m = M R 2 / 4 . Ele está em repouso quando uma corda enrolada no cilindro interno de raio R / 2 é puxada com uma força de tração horizontal constante T . O carretel passa a rolar sem deslizar no sentido horário (para a direita) em um plano horizontal com coeficiente de atrito estático μ E . As forças na direção horizontal, atrito e tração, agindo no carretel estão ilustradas na figura.

a) Escreva as equações de movimento que descrevem a dinâmica do carretel como translação do centro de massa e rotação em torno do centro de massa.

b) Use as equações do item anterior para obter o modulo da aceleração angular α em relação ao centro de massa do carretel.

c) Qual é o valor máximo da tração T m a x para o rolamento sem deslizamento.

Passo 1

Vamos começar com as equações de movimento.

Esse carretel terá tanto um movimento de translação quanto um movimento de rotação.

Começando com a Segunda Lei de Newton para translação:

F R = M a

T - f E = M a

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

A Segunda Lei de Newton para rotação fica:

τ R = I α

O vetor posição r → é perpendicular ao vetor força nos dois casos:

Então, o módulo dos torques serão o raio vezes a força.

Para a força T , o raio do cilindro interno é R / 2 e para a força de atrito f E , o raio do cilindro externo é R :

τ T = R 2 T

τ f E = R f E

Como o cilindro gira no sentido horário, a aceleração angular α está nesse sentido. Vamos considerar esse sentido como positivo.

O torque da força de tração tenta girar no sentido anti-horário (negativo) enquanto o torque da força de atrito tenta girar no sentido horário (positivo):

τ R = I α

τ f E - τ T = I α

R f E - R 2 T = I α

Sabemos também o momento de inércia I , dado no enunciado:

R f E - R 2 T = M R 2 4 α

Pronto, temos a nossa segunda equação de movimento.

Passo 3

Na letra (b), queremos a aceleração angular α .

Para isso vamos usar aquelas duas equações que achamos:

T - f E = M a R f E - R 2 T = M R 2 4 α

Mas existe mais uma relação que podemos utilizar.

Como não há deslizamento entre o carretel e o chão, necessariamente a aceleração do centro de massa se relaciona com a aceleração angular a partir de:

a c m = α R

Vamos substituir isso na primeira equação:

T - f E = M a

T - f E = M α R

T - f E = M R α

Além disso, vamos simplificar a segunda equação cortando o R dos dois lados:

R f E - R 2 T = M R 2 4 α

f E - T 2 = M R 4 α

Passo 4

Agora nosso sistema ficou:

T - f E = M R α f E - T 2 = M R 4 α

Como f E não é um valor conhecido, vamos eliminá-lo da resposta.

Podemos simplesmente somar as duas equações:

T - f E + f E - T 2 = M R α + M R 4 α

T 2 = 5 M R 4 α

T = 5 M R 2 α

α = 2 T 5 M R

Passo 5

Na letra (c), queremos o valor máximo de tração T m a x sem que haja deslizamento.

Qual é a situação limite sem que haja deslizamento?

É quando a força de atrito estático atinge seu valor máximo:

f E = μ E N

Passo 6

Usando a Segunda Lei de Newton para translação, temos:

T - f E = M a

Então, quando a força de atrito estiver em seu valor máximo, teremos T m a x :

T m a x - μ E N = M a

Agora, vamos deixar essa expressão apenas em função de parâmetros conhecidos.

Passo 7

Como o carretel está em equilíbrio na vertical, temos que a força normal é igual à força peso:

N = M g

Substituindo na nossa equação:

T m a x - μ E M g = M a

Passo 8

Além disso, sabemos que a aceleração a é igual a:

a = α R

a = 2 T 5 M R R

a = 2 T 5 M

Substituindo isso na expressão:

T m a x - μ E M g = M 2 T m a x 5 M

T m a x - μ E M g = 2 T m a x 5

Isolando o T m a x :

T m a x - 2 5 T m a x = μ E M g

T m a x 1 - 2 5 = μ E M g

T m a x 3 5 = μ E M g

T m a x = 5 μ E M g 3

Resposta

(a)

T - f E = M a

R f E - R 2 T = M R 2 4 α

(b)

α = 2 T 5 M R

(c)

T m a x = 5 μ E M g 3

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