Exercícios Resolvidos de Rolamento sem Deslizamento

Força e Leis de Newton, Corpos Rígidos, Rotação, Dinâmica de Rotação

Considere o sistema abaixo, onde um cilindro maciço de massa 2 M e raio 2 R pode girar sem atrito em torno de um eixo vertical fixo à superfície, que passa pelo seu centro de massa. Uma corda ideal e de massa desprezível está enrolada em torno do cilindro, passa por uma polia em forma de aro com massa M e raio R e está presa a um bloco de massa desconhecida. Não há atrito nos eixos da rotação da polia e do cilindro e não ocorre escorregamento da corda no cilindro ou na polia. Tampouco há atrito entre o bloco e a superfície do plano inclinado. O raio R   da polia (aro) vale 10   c m e o ângulo θ é 30 ° . Observa-se que o bloco desce com uma aceleração linear a   =   0,1   m / s 2 .

a ) Havendo o sistema partido do repouso, observa-se que a polia sofre um deslocamento angular total de 50 radianos até que o bloco chegue à base da rampa. Determine o tempo de queda do bloco, Δ t , e a velocidade angular final do cilindro maciço, ω c i l .

b ) Faça o diagrama do corpo livre para cada componente do sistema, representando claramente as forças que agem em cada um dos componentes e o sentido de seus movimentos (de translação ou rotação).

c ) Escreva as equações resultantes das Leis de Newton (rotacional e translacional) para

os três corpos.

d ) A partir das equações da letra c , determine o valor da massa do bloco, em termos

de M .

Passo 1

a )

Para determinar o tempo de queda do bloco, vamos primeiro descobrir quanto de corda foi necessário para que ele chegasse até a base, ou seja, o quanto ele percorreu até chegar lá!

Δ S = Δ θ . R

Δ S = 50 .   0,1

Δ S = 5,0   m

Como sabemos que o bloco partiu do repouso, e que possui aceleração a = 0,1   m / s 2 , temos, de acordo com a cinemática:

s = s 0 + v 0 . t + a .   t 2 2

5,0 = 0,1 .   t 2 2

Isolando o tempo, temos:

t = 10   s

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Para determinar a velocidade angular do cilindro, precisamos determinar quantos radianos ele girou para fornecer 5,0   m de corda. Pois, como temos o tempo que ele levou para fazer isso, teremos a velocidade angular! Se liga!

Δ S = Δ θ . 2 R

5,0 = Δ θ . 0,2

Δ θ = 25   r a d

Agora é só calcular a velocidade angular:

ω c i l = Δ θ t

ω c i l = 25 10

ω c i l = 2,5   r a d / s

Passo 3

b )

O cilindro e a Polia possuem movimento de rotação no sentido horário.

O bloco possue movimento de translação para baixo da rampa.

Passo 4

c )

Para o cilindro, temos apenas movimento de rotação, portanto, a equação do movimento é:

τ → = I . α

T 1 . 2 R = 2 M . 2 R 2 2 . ( a 2 R )

T 1 = M . a

Passo 5

Para a polia, temos:

τ → = I . α

T 2 . R - T 1 . R = M . R 2 . a R

T 2 - T 1 = M . a

Passo 6

Para o bloco, temos apenas movimento translacional, portanto, temos a seguinte equação:

F → = m . a →

P . sen ⁡ θ - T 2 = m . a

Como o bloco possui massa desconhecia, utilizaremos m para designá-la!

m . g . sen ⁡ θ - T 2 = m . a

Passo 7

d )

Para determinar o valor da massa do bloco, iremos somar as 3 equações achadas no item c , de modo a cancelar os valores desconhecidos!

m . g . s e n θ = m . a + 2 . M . a

isolando m, temos:

m = 2 . M . a ( g . s e n θ - a )

Substituindo os valores dados:

m = 2 . M . 0,1 ( 10 . 1 2 - 0,1 )

m = 0,041 M

Resposta

a )   t = 10   s ;   ω c i l = 2,5   r a d / s

b )   V e r   f i g u r a   a c i m a

c ) T 1 = M . a T 2 - T 1 = M . a m . g . sen ⁡ θ - T 2 = m . a

d )   m = 0,041 M

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