Exercícios Resolvidos de Rolamento sem Deslizamento

Corpos Rígidos, Força e Leis de Newton, Rotação, Dinâmica de Rotação

Um carretel de raio R externo, raio r interno ( r   = R 2 ), massa M e momento de inércia em relação ao centro de massa I   =   β . M .   R 2 é puxado ao longo de um piso horizontal rugoso por um fio que exerce uma tração T → , conforme a figura. O coeficiente β é um número adimensional e o coeficiente de atrito estático é μ e . Suponha haver rolamento sem deslizamento. Faça corretamente o que for solicitado em função dos dados fornecidos a partir das leis físicas sobre torque e rolamento.

a ) Obtenha uma expressão para o valor da aceleração do centro de massa a c m .

b ) Encontre uma expressão para o módulo da força de atrito estático F e →

c ) Agora considere que o carretel é jogado tangencialmente sobre o piso (cujo coeficiente de atrito cinético vale μ c   =   0,300 ) com velocidade inicial do centro de massa v 0   =   4,00   m / s , no sentido positivo do eixo x , e velocidade angular inicial ω 0   =   0 . Não há tração T   nesse caso. Seja M   =   2,00   k g , R   =   0,100   m e β   =   1,125 . Determine se no instante de tempo t   =   0.500   s quando v c m   =   2,50   m / s e ω   =   13,3   r a d / s o carretel parou de deslizar e iniciou o rolamento sem deslizamento.

Passo 1

a )

Devemos primeiramente determinar as equações do movimento, tanto translacional, quanto rotacional. Vamos começar com o translacional, de acordo com a Segunda Lei de Newton, temos:

F → = m . a →

Para o sistema, temos em módulo:

T + F e = M . a c m

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Para o movimento rotacional, a Segunda Lei de Newton para rotações nos diz;

τ → = I c m . α →

Para o sistema, temos em módulo(Adotando o sentido horário como positivo):

r . T - R . F e = I c m . α

Como o corpo rola sem deslizar, podemos substituir α por a c m R :

R 2 . T - R . F e = I c m . a c m R

Passo 3

Agora que temos as duas equações, podemos eliminar a força de atrito, que não é dada!

R 2 . T - R . M . a c m - T = I c m . a c m

Substituindo o momento de inércia e isolando a aceleração, temos:

R 2 . T - R . M . a c m + R . T = β . M . R 2 . a c m R

a c m = 3 . T 2 . M β + 1

Passo 4

b )

Agora que já temos o valor a aceleração, só precisamos substituir a c m na equação do movimento translacional:

F e = M . a c m - T

F e = M . 3 . T 2 . M β + 1 - T

F e = T 3 2 . β + 1 - 1

Passo 5

c )

No instante t = 0.500   s , ele nos diz que a velocidade do centro de massa v c m = 2,50   m / s , enquanto a velocidade angular ω = 13,3   r a d / s . Quando não ocorre deslizamento, temos que v c m = ω . R , Para R = 0,100   m , temos:

ω . R = 13,3 .   0,100

ω . R = 1,33

Como temos v c m = 2,50 m / s :

v c m > ω . R

Ou seja, o corpo não parou de deslizar!

Resposta

a )   a c m = 3 . T 2 . M β + 1

b )   F e = T 3 2 . β + 1 - 1

c )   v c m > ω . R ;   O corpo não parou de deslizar.

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