Exercícios Resolvidos de Rolamento sem Deslizamento

UFRJ, Física 1, Prova 2, 2015.2

Dois cilindros rígidos homogêneos, A e B, rolam sem deslizar sobre uma superfície horizontal, com a mesma velocidade angular constante de módulo ω. As relações entre as massas e os raios dos cilindros são m A = m B 2 e R A = 2 R B   e. O momento de inércia de um cilindro homogêneo de massa M e raio R relativo ao seu eixo, que passa pelo centro de massa, é I C M = M R 2 2 . Sendo K A e V A a energia cinética total e o módulo da velocidade do centro de massa do cilindro A, e K B e V B as do cilindro B, podemos dizer que:

  1. K A = 2 K B ,   V A = 2 V B
  2. K A = K B ,   V A = 2 V B
  3. K A = K B ,   V A = V B 2
  4. K A = K B 2 .   V A = 2 V B
  5. K A = 2 K B ,   V A = V B 2

Passo 1

Primeiro vamos analisar as velocidades por meio do vínculo:

V C M = R . w

V A = 2 R B w

V B = R B w

Assim chegamos a:

V A = 2 V B

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Agora vamos analisar a energia total que é dada por:

K = K r o t + K t r a n s

K = I c m w 2 2 + m V C M 2 2

A gente já tem a relação entre as velocidades, então basta aplicarmos a fórmula. O único detalhe aqui é perceber que como o momento de inércia depende do raio, cada um dos cilindros vai ter um momento de inércia diferente. Vamos comparar a relação entre os momentos de inércia:

I C M = m R 2 2

I C M A = m B 2 2 R B 2 2 = m B 2 4 R B 2 2 = m B R B 2

I C M B = m b R B 2 2

I C M A = 2 I C M B

Lembrando as relações:

I C M A = 2 I C M B

m A = m B 2

R A = 2 R B

V A = 2 V B

Vamos calcular a energia total de cada cilindro pela fórmula:

K T o t a l = K r o t + K t r a n s

K t o t a l = I C M w 2 2 + m v c m 2 2

Cilindro A:

K T o t a l A = K r o t A + K t r a n s A

K T o t a l A = 2 I C M B w 2 2 + m B 2 2 V B 2 2 = I C M B w 2 + m B V B 2

Cilindro B:

K T o t a l B = K r o t B + K t r a n s B

K T o t a l B = I C M B w 2 2 + m B V B 2 2

Agora para descobrirmos a relação entre as duas, vamos dividir uma pela outra

K T o t a l A K T o t a l B = 2 1

K A = 2 K B

Assim, matamos o problema!

Resposta

K A = 2 K B ,   V A = 2 V B

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