Exercícios Resolvidos de Rolamento sem Deslizamento

Um cilindro homogêneo de massa M e raio R sobe um plano inclinado de um ângulo θ em relação à horizontal sob a ação de uma força F → constante, como mostra a figura abaixo. O cilindro parte do repouso e sua velocidade angular aumenta com o tempo. Sabe-se que o cilindro rola sem deslizar e que seu momento de inércia em relação a um eixo perpendicular que passa pelo seu centro de massa é I C M = 1 2 M R 2 .

Dado: A C M = α R

b) Determine a força de atrito (módulo, direção e sentido) que o plano excerce sobre o cilindro.

c) Determine a velocidade do centro de massa do cilindro após o mesmo ter subido uma altura h, em relação à sua posição inicial.

Passo 1

Na letra (b), queremos o valor da F a t , além de sua direção e sentido.

Dá uma olhada na figura de novo:

A força F → (aplicada no centro de massa do cilindro) puxa ele para cima, então a tendência de deslizamento é para cima.

A força de atrito vai atuar contra essa tendência de deslizamento, logo estará para baixo:

Podemos ter a certeza da direção da força de atrito, pois ela é a única força que gera torque no cilindro. Assim, ela deve fazê-lo entrar em rotação no sentido horário (subir a rampa).

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Agora, vamos calcular o módulo da F a t .

Para isso, vamos escrever as equações de translação e de rotação para esse corpo, e com elas, conseguimos resolver o sistema e achar a F a t .

Quais são as forças atuando no cilindro?

Passo 3

Rotação:

Pela segunda lei de Newton para rotação:

τ R = I α

O torque resultante é a soma dos torques de cada forças:

τ P + τ N + τ F + τ F a t = I α

Vamos calcular com relação ao eixo de rotação, que passa pelo centro de massa:

τ P + τ N + τ F + τ F a t = I C M α

O torque da força peso τ P é zero pois ele está aplicado no centro de massa. O torque da força F é zero pelo mesmo motivo.

τ P = 0 τ F = 0

Já o torque da força normal N , será:

τ → N = r → × N →

O produto vetorial é zero pois os vetores são paralelos.

r → × N → = 0

Assim, o torque da força normal é nulo, pois a força está na direção do centro de massa.

τ N = 0

Por último temos a força F a t . Seu torque será dado por:

τ → F a t = r → × F → a t

Como os vetores são perpendiculares, o módulo do torque será:

τ F a t = R F a t

Substituindo todos esses valores na equação dos torques, temos:

0 + 0 + 0 + R F a t = I C M α

R F a t = I C M α

Passo 4

Translação:

Vamos decompor a força peso nas direções paralela e perpendicular à rampa:

Então, ficamos com as seguintes componentes:

Na direção paralela à rampa, temos:

F - P s e n θ - F a t = M a C M

Podemos escrever a equação de forças na direção perpendicular à rampa, porém, não vamos precisar dela...

Isso porque a F a t não se relaciona com a força normal N , pois ela não necessariamente apresenta valor máximo:

F a t m á x = μ e N

F a t ≤ F a t m á x

Passo 5

Bom, temos as seguintes equações:

R F a t = I C M α F - P s e n θ - F a t = M a C M

Além delas, temos também a relação de rolamento sem deslizamento:

a C M = α R

Podemos substituir o valor de a C M na segunda equação:

F - P s e n θ - F a t = M α R

F a t = F - P s e n θ - M R α

F a t = F - M g s e n θ - M R α

Já na primeira equação, podemos substituir o valor do momento de inércia do cilindro:

R F a t = 1 2 M R 2 α

2 F a t = M R α

Agora, temos esse sistema aqui:

2 F a t = M R α F a t = F - M g s e n θ - M R α

Somando as duas equações, temos:

2 F a t + F a t = M R α + F - M g s e n θ - M R α

3 F a t = F - M g s e n θ

F a t = F - M g s e n θ 3

Passo 6

Na letra (c), queremos a velocidade do centro de massa do cilindro após ele subir uma altura h .

Podemos resolver esse item por energia, atravé do teorema trabalho-energia cinética:

W R = ∆ K

Sendo W R o trabalho resultante de todas as forças e a energia cinética sendo a soma da energia cinética de rotação K R com a de translação K T .

Porém, como já temos a força de atrito do item (b), um outro caminho é encontrar a aceleração sobre o cilindro a C M e a partir dela, encontrar a velocidade.

F R = M a C M

F - P s e n θ - F a t = M a C M

F - M g s e n θ - F - M g s e n θ 3 = M a C M

M a C M = 2 3 F - M g s e n θ

a C M = 2 F - M g s e n θ 3 M

Passo 7

Como o cilindro parte do repouso, basta descobrirmos o seu deslocamento que conseguimos achar sua velocidade, por meio de Torricelli:

v 2 = v 0 2 + 2 a ∆ S

Para achar esse deslocamento ∆ S , vamos usar a inclinação da rampa:

s e n θ = h ∆ S

∆ S = h s e n θ

Achamos quanto o cilindro precisa se deslocar ao longo da rampa para subir uma altura h .

Passo 8

Aplicando Torricelli:

v 2 = v 0 2 + 2 a ∆ S

A velocidade inicial é zero (parte do repouso):

v 2 = 0 + 2 a C M ∆ S

Substituindo os valores de a C M e de ∆ S , temos:

v 2 = 2 2 F - M g s e n θ 3 M h s e n θ

v 2 = 4 F h - M g h s e n θ 3 M s e n θ

v 2 = 4 F h 3 M s e n θ - M g h s e n θ 3 M s e n θ

v 2 = 4 F h 3 M s e n θ - g h 3

v = 4 F h 3 M s e n θ - g h 3

Assim, temos que a velocidade é:

v = 2 F h 3 M s e n θ - g h 3

Resposta

(b) F a t = F - M g s e n θ 3

(c) v = 2 F h 3 M s e n θ - g h 3

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