Exercícios Resolvidos de Rolamento sem Deslizamento

Um cilindro maciço de massa M e raio R desce rolando sem deslizar sobre um plano inclinado de 30 ° em relação à horizontal. O cilindro parte do repouso e percorre uma distância D = 1 , 2   m no plano inclinado. Qual é a velocidade de seu centro de massa no final da distância D ? (Dado: I C M = M R 2 / 2   .)

(A) 4,8   m / s

(B) 2,0   m / s

(C) 4,0   m / s

(D) 2,8   m / s

(E) 3,2   m / s

Passo 1

Temos um cilindro descendo um plano inclinado e queremos sua velocidade v C M após percorrer uma distância de 1,2   m .

Poderíamos encontrar isso analisando as forças, encontrando a aceleração do centro de massa na direção da rampa e depois usando as equações de movimento uniformemente variado (MUV).

Mas caramba, muita coisa né?

Podemos também utilizar a energia para resolver esse problema...

Como não há deslizamento, não há perda de energia por força de atrito, pois o trabalho da F a t é nulo:

W F a t = 0

Assim, temos que a energia mecânica do sistema se conserva:

E M 0 = E M

Então, podemos utilizar essa expressão para encontrar a velocidade final v C M , que estará relacionada com a energia cinética.

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Passo 2

Inicialmente, a bola está em repouso. Assim, ela terá apenas energia potencial gravitacional U g :

E M 0 = U g

E M 0 = M g h

Após a bola percorrer uma distância D , ela estará com uma velocidade do centro de massa (translação) e também uma velocidade angular de rotação em torno do seu centro de massa. Por isso ela terá tanto energia cinética de translação K T quanto energia cinética de rotação K R :

E M = K T + K R

E M = M v C M 2 2 + I ω 2 2

Logo, podemos igualar a energia inicial com a final:

M g h = M v C M 2 2 + I ω 2 2

Passo 3

Até aí, okay...

Mas reparem que não sabemos h nem ω .

Como achamos esses caras?

Começando com h :

Inicialmente, o cilindro estava a uma altura vertical h . Porém, sabemos o quanto ele andou na direção da rampa, então podemos relacionar os dois a partir da inclinação da rampa:

s e n θ = h D

Como o ângulo de inclinação da rampa é 30 ° , temos:

s e n 30 ° = h D

h = D s e n 30 °

Relacionando ω :

A princípio parece que não temos nenhuma relação para ω , entretanto o enunciado diz que o cilindro desce rolando sem deslizar.

Assim, as velocidades do centro de massa v C M e a velocidade angular ω se relacionam por:

v C M = ω R

Como queremos no final das contas a v C M , vamos isolar e substituir ω :

ω = v C M R

Passo 4

Beleza, com essas duas relações, podemos encontrar o que queremos na expressão de energia:

M g h = M v C M 2 2 + I ω 2 2

M g D s e n 30 ° = M v C M 2 2 + I v C M R 2 2

Podemos ainda susbtituir a expressão para o momento de inércia do cilindro, dado por:

I C M = M R 2 2

Então:

M g D s e n 30 ° = M v C M 2 2 + M R 2 2 v C M R 2 2

M g D s e n 30 ° = M v C M 2 2 + M R 2 2 v C M 2 R 2 2

Cortando os " R 2 " :

M g D s e n 30 ° = M v C M 2 2 + M 2 v C M 2 2

Cortando as massas M :

g D s e n 30 ° = v C M 2 2 + 1 2 v C M 2 2

g D s e n 30 ° = v C M 2 2 + v C M 2 4

g D s e n 30 ° = v C M 2 1 2 + 1 4

g D s e n 30 ° = v C M 2 3 4

v C M 2 = 4 g D s e n 30 ° 3  

Substituindo os valores, temos:

v C M 2 = 4 3 9,8 1,2 1 2

v C M 2 = 4 3 9,8 0,6

v C M 2 = 9,8 0,8

v C M = 7,84

Achamos então que a velocidade do centro de massa é:

v C M = 2,8   m / s

Ficamos com a letra (D).

Resposta

Letra (D)

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