Exercícios Resolvidos de Rolamento sem Deslizamento

Uma esfera de bronze sólida de massa m e raio   r   rola sem deslizar ao longo de um plano inclinado após ser solta do repouso de uma altura h . O momento de inércia da esfera em relação a um eixo que passa pelo seu centro que centro é I = 2 5 m r 2 e a aceleração da gravidade é g . O plano inclinado forma um ângulo θ com a horizontal, como mostra a figura abaixo:

(a) Há atrito entre a esfera e o plano inclinado? Como você chegou a essa conclusão?

(b) Há conservação de energia mecânica? Justifique sua resposta levando em consideração o respondido no item (a).

(c) Utilizando considerações de energia, determine a velocidade com que a esfera atinge a base do plano inclinado.

(d) Obtenha a velocidade na base do plano inclinado já calculada no item (c) utilizando agora considerações de dinâmica (ou seja, aplicando a segunda lei de Newton).

Passo 1

(a)

Logo de cara ele quer saber se tem ou não atrito. Então, como sempre dizem isso nos enunciados, aqui também não é diferente...Só que ele disse de uma forma mais sutil. Acompanha comigo.

No enunciado ele fala: “rola sem deslizar ao longo de um plano inclinado”.

Então, rolar sem deslizar, significa que o ponto de contato entre a esfera e o plano está momentaneamente em repouso, isso é, a velocidade ali é zero. Então, se aquele ponto tá em repouso, nós temos atrito estático entre a esfera e o plano.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

(b)

Sim! Há conservação da energia mecânica.

Eita, mas a gente acabou de ver que tem atrito estático. Esse atrito não era para estar roubando energia do nosso sistema? Então, muita calma nessa hora. A energia que a f a t roubaria do sistema é igual ao trabalho dela:

W f a t = f a t   d

Mas nós vimos também que o ponto de contato entre a esfera e o plano está em repouso, ou seja o deslocamento é zero! Logo

W f a t = 0

Assim a energia mecânica se conserva!

Passo 3

(c)

Com falamos na letra (b), a energia mecânica se conserva, então:

E i = E f

No início, ele sai do repouso lá da altura h . Quando ele chega lá embaixo, a altura é 0 e só temos energia cinética, beleza? Lembrando que é um rolamento sem deslizamento, então temos uma energia cinética de rotação também:

U i = K T + K R

m g h = m v 2 2 + I ω 2 2

Podemos usar o vínculo

v = ω R

Então:

m g h = m v 2 2 + I v 2 2 R 2

Lá no enunciado ele fala pra gente o momento de inércia, então vamos substituir:

m g h = m v 2 2 + 2 m r 2 5   v 2 2 r 2

Resolvendo isso daí:

v = 10 g h 7

Show??!

Passo 4

(d)

Temos que obter a mesma velocidade, mas agora usando leis de Newton.

Então vamos começar fazendo o diagrama de corpo livre:

Já coloquei o ângulo ali na posição e também já mostrei o eixo de coordenadas que vamos utilizar.

Decompondo as nossas forças:

N → = N   ( y ^ )

P → = P sen ⁡ θ   x ^ + P cos ⁡ θ   ( - y ^ )

f a t → = f a t   ( - x ^ )

Então aplicando a segunda lei de newton.

No eixo x:

∑ F x = m a

P sen ⁡ θ - f a t = m a

m g sen ⁡ θ - f a t = m a

Daqui podemos dizer que:

f a t = m ( g sen ⁡ θ - a )

No eixo y, a aceleração é zero, já que não há movimento nesse eixo:

∑ F y = m a = 0

N - P cos ⁡ θ = 0

N = m g cos ⁡ θ

Beleza, essas foram as equações de movimento para a translação do centro de massa.

Mas a esfera também está rodando, então, vamos equação de movimento para rotação:

τ = I α

Como se trata de um rolamento sem deslizamento, podemos usar:

a = α r

Então: τ = I a r

A força responsável pela rotação é a f a t , e ela produz um torque cujo módulo é igual a:

τ = r f a t sen ⁡ 90 = r f a t

Então:

τ = I a r

r f a t = 2 5 m r 2 a r

f a t = 2 5 m a

Agora vamos voltar lá na equação de translação do centro de massa:

f a t = m ( g sen ⁡ θ - a )

Podemos igualar essas duas equações de f a t pra achar a aceleração:

m g sen ⁡ θ - a = 2 5 m a

Resolvendo:

a = 5 7 g sen ⁡ θ

Beleza! Acabou? Não!!!

Porque a gente quer a velocidade com que a esfera chega lá embaixo. Então, por torriceli:

v 2 = v 0 2 + 2 a ∆ S

Ele sai do repouso, então v 0 = 0

Para achar o ∆ S :

Beleza, substituindo:

v 2 = v 0 2 + 2 a ∆ S

v 2 = 2 ⋅ 5 7 g sen ⁡ θ ⋅ h sen ⁡ θ

Então:

v = 10 7 g h

Igual ao da letra (c)!

Resposta

a) Temos atrito estático entre a esfera e o plano.

b) Sim! Há conservação da energia mecânica.

c) v = 10 g h 7

d)

v = 10 g h 7

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