Exercícios Resolvidos de Rolamento sem Deslizamento

UFRJ-PF-2014.2-Q2

Um cilindro rígido e homogêneo de massa M e raio R está sobre uma superfície horizontal e pode girar livremente em torno de seu eixo de simetria longitudinal, como indicado na figura. O eixo está preso a uma extremidade de um fio ideal que passa por uma polia ideal e tem em sua outra extremidade um bloco suspenso de massa m . O bloco desce verticalmente com aceleração para baixo e o cilindro rola sem deslizar sobre a superfície horizontal devido ao seu atrito com ela. O momento de inércia do cilindro relativo ao eixo de simetria é I c m = M R 2 / 2 . Considere como dados M ,   R ,   m   e o módulo g da aceleração da gravidade.

a) Indique todas as forças externas que atuam sobre o bloco e sobre o cilindro.

b) Calcule o módulo da aceleração do bloco;

c) Calcule o módulo da força de atrito sobre o cilindro e indique o seu sentido.

Passo 1

As forças atuando no cilindro são seu peso P → c , a força normal da superfície N → , a tração do fio T → c , e a força de atrito f → a t .

Tendo rotação, rolamento sem deslizar e tal é normal a gente ficar confuso pra que lado aponta a força de atrito. Nesse caso a gente faz o seguinte: “chuta” um lado e depois vê se vai dar certo! Se no fim o módulo der negativo, basta trocar o sentido! Então digamos que a força de atrito aponta pra esquerda.

Assim, o diagrama das forças atuando no cilindro é:

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Vamos ver o bloco agora.

Nele só tem as forças peso P → b e a tração do fio T → b :

Passo 3

b)

Um aviso antes da gente mergulhar de cabeça nas contas: sempre que eu botar um vetor mas sem a flechinha em cima é porque é o módulo dele, beleza? Tipo T b é o módulo de T → b .

Dito isso, vamos aplicar a 2ª lei de Newton pro bloco:

T → b + P → b = m a →

Como ele está descendo, em módulo vamos ter

P b - T b = m a

⇒ m g - T b = m a

Passo 4

Agora vamos pro cilindro! Temos que ficar ligados porque ele, além da translação, tem uma rotação.

Vamos começar aplicando a 2ª lei de Newton pra translação. Seja a → C M   a aceleração do centro de massa do cilindro. Ela é toda pra direita, então no eixo x temos:

T → c + f → a t = M a → C M

Como o cilindro vai pra direita, em módulo temos

T c - f a t = M a C M

Obs: não vamos nos preocupar com as forças no eixo y P → c e N → porque elas não têm importância pra essa questão.

Passo 5

Beleza, agora vamos dar uma olhada na rotação.

As forças peso, normal e de tração estão na direção do centro do cilindro, que é onde fica o eixo de rotação. Então essas forças não realizam torque, somente a f → a t realiza.

O braço da alavanca é o próprio raio R do cilindro, então o torque da força de atrito é dado por:

τ → f a t = - f a t R   k ^

O sinal negativo é porque o torque produzido é no sentido horário, e o sentido anti-horário que é o considerado positivo.

Passo 6

Portanto, pela 2ª lei de Newton,

τ → f a t = - f a t R   k ^ = I α →

A aceleração é no sentido horário, então ela também é negativa:

α → = - α   k ^

Passo 7

Então vamos ter:

- f a t R   k ^ = - I α k ^

Os sinais de negativo vão cortar:

f a t R   k ^ = I α   k ^

E em módulo:

f a t R = I α

Passo 8

Show! De todas essas equações, obtivemos o sistema:

m g - T b = m a T c - f a t = M a C M f a t R = I α

Mas ainda dá pra ajeitar várias coisas aí!

Passo 9

Primeira observação: os fios e a polia são ideais, então as forças de tração e as acelerações nos blocos têm o mesmo módulo! Isto é,

T b = T c = T

a = a C M

Tem que ficar ligado nisso, quase toda questão desse tipo envolve isso!

Passo 10

Outra coisa é que o momento de inércia é I = M R 2 / 2 , então podemos ajeitar a última equação do sistema:

f a t R = I α

⇒ f a t R = M R 2 2 α

⇒ f a t = M R α 2

Passo 11

E também temos a relação

a = α R

Logo,

f a t = M a 2

Passo 12

Beleza, então agora o nosso sistema ficou assim:

m g - T = m a T - f a t = M a f a t = M a 2

Passo 13

Vamos somar as 2 primeiras equações:

m g - T + T - f a t = m a + M a

⇒ m g - f a t = a m + M

Passo 14

Agora vamos substituir a 3ª equação nessa que achamos, aí dá:

m g - M a 2 = a m + M

⇒ m g = M a 2 + a m + M

Passo 15

Vamos isolar o a , que é o que a gente quer achar:

m g = a M 2 + m + M = a 3 2 M + m

⇒ a = m g 3 2 M + m  

Passo 16

c)

Agora só falta calcular o módulo f a t da força de atrito! Vimos que

f a t = M a 2

Ou seja,

f a t = M 2 ∙ m g 3 2 M + m

⇒ f a t = M m g 3 M + 2 m

Todos os valores envolvidos são positivos, então f a t > 0 . Isso confirma que lá no começo escolhemos o sentido certo pra força de atrito, ela aponta pra esquerda mesmo!

Resposta

a)

b)

a = m g 3 2 M + m

c)

f a t = M m g 3 M + 2 m

Esse conteúdo é exclusivo para cadastrados.

Cadastre-se grátis no maior portal de exatas do Brasil!

Relaxa, não vamos publicar nada no seu nome.

  • Resumões direto ao ponto
    Resumões
    direto ao ponto
  • Exercícios resolvidos passo a passo
    Exercícios resolvidos
    passo a passo
  • Videoaulas incríveis
    Videoaulas
    incríveis
  • Aulões Salva-Vidas
    Aulões
    Salva-Vidas

Muita matéria pra estudar?

Dexter Estudando

Cadastre-se para acessar os Resumões Gratuitos

Relaxa, não vamos publicar nada no seu nome.

  • Resumões direto ao ponto
    Resumões
    direto ao ponto
  • Exercícios resolvidos passo a passo
    Exercícios resolvidos
    passo a passo
  • Videoaulas incríveis
    Videoaulas
    incríveis
  • Aulões Salva-Vidas
    Aulões
    Salva-Vidas