Uma esfera sólida de massa m e raio r rola sem deslizamento ao longo da trajetória mostrada na figura. Ela inicia o movimento partindo do repouso quando a esfera está a uma altura h acima da parte inferior do loop de raio R , muito maior do que r .

a) Qual o módulo da velocidade v A quando a esfera chega no ponto A?

b) Qual o módulo da velocidade angular ω A na base, ponto A, do plano inclinado?

c) Desenhe o diagrama de corpo livre da esfera quando esta estiver no ponto P.

d) Qual é o valor mínimo de h (em termos de R ) para que a esfera complete o loop?

Passo 1

Fala galerinha, beleza? Partiu resolver esse problema sobre conservação da energia mecânica?

Para gente resolver o item (a), o segredo é aplicar a conservação da energia mecânica considerando o ponto de partida e o ponto A:

E i n i c i a l = E A

Inicialmente, a esfera tinha apenas energia potencial gravitacional:

E i n i c i a l = m g h

No ponto A, a esfera tem apenas energia cinética. Todavia, temos que tomar um cuidado para não esquecer a energia cinética de rotação:

E A = 1 2 m v A 2 + 1 2 I ω A 2

O momento de inércia de uma esfera é

I = 2 5 m r 2

Como a esfera rola sem deslizar, temos ω A = v A / r , de modo que

E A = 1 2 m v A 2 + 1 2 ⋅ 2 5 m r 2 ⋅ v A r 2 = 7 10 m v A 2

Portanto,

m g h = 7 10 m v A 2 → v A = 10 g h 7

Passo 2

No item (b), ele pede ω A :

ω A = v A r

Logo,

ω A = 1 r 10 g h 7

Passo 3

No item (c), ele cobra o diagrama de força sobre a esfera quando ela se encontra no ponto P. A seguir fazemos esse desenho:

É muito importante que você não esqueça do atrito! A esfera só consegue rolar sem deslizar devido a um torque em torno do centro de massa e isso só é possível por causa da força de atrito. Vale destacar que, como a velocidade do ponto de apoio da esfera na superfície é nula, a força de atrito é estática e não realiza trabalho. Por isso pudemos brincar com a conservação de energia sem problemas no passo 1.

Passo 4

Vamos fechar o problema com o item (d). Vamos calcular primeiro a velocidade mínima que a esfera deve ter no topo do loop para não perder contato com a pista.

No topo do loop, tanto a normal quanto o peso apontam para o centro da trajetória, de modo que a força centrípeta pode ser escrita como

F c p = N + P

Ou ainda,

m v 2 R = N + m g

Na situação limite em que a esfera perde contato com a pista, temos v = v m i n e N = 0 , de modo que

m v m i n 2 R = m g → v m i n = R g

Usando conservação de energia, temos que

E i n i c i a l = E f i n a l

Como discutido no passo 1, temos que

E i n i c i a l = m g h m i n

Já na situação final, temos

E f i n a l = m g ⋅ 2 R + K

Repare que no topo da trajetória temos tanto energia potencial como cinética. Como visto no passo 1,

K = 7 10 m v 2

Logo,

m g h m i n = 2 m g R + 7 10 m v m i n 2

Substituindo v m i n 2 = R g , temos que

g h m i n = 2 g R + 7 10 g R

Assim,

h m i n = 27 10 R

Essa é a altura mínima que a esfera deve ser abandonada para que ela consiga completar o loop sem perder contato com a pista 😉!

Resposta

v A = 10 g h 7

ω A = 1 r 10 g h 7

h m i n = 27 10 R

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