Exercícios Resolvidos de Rolamento sem Deslizamento

Um disco homogêneo de massa M e raio R pode girar livremente em torno de um eixo perpendicular a ele que passa pelo seu CM, cujo momento de inércia é I C M = M R 2 2 . O disco parte do repouso e inicia uma subida sobre a rampa, ao ter seu eixo puxado por uma força constante de módulo F , paralela à superfície da rampa, como indica a figura. A superfície da rampa está inclinada de um ângulo θ com a horizontal e o disco rola sem deslizar ao subir por essa superfície. Nas questões abaixo indique claramente os conceitos utilizados.

a) Faça um diagrama indicando as forças que atuam no disco.

b) Determine o módulo da aceleração do centro de massa, a C M , do disco.

c) Determine o tempo que ele leva para completar a primeira volta em torno do seu eixo em função de a C M e dos dados do problema.

d) Determine o trabalho realizado por cada uma das forças indicadas no item (a) na primeira volta completa em torno de seu eixo, justificando cada uma delas.

Passo 1

a) Aqui não podemos esquecer da força de atrito, porque é ela a responsável por realizar o rolamento do disco. Sem ela, só haveria deslizamento.

Atente também para o sentido da força de atrito. Se o disco fosse arrastado sem rolamento, o deslocamento da superfície seria para cima, certo? Portanto a força de atrito aponta para baixo, para contrariar esse movimento.

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Passo 2

b) Usando a segunda lei de Newton, temos:

F → + P → + N → + F → a t = M a → C M

Para a componente paralela ao plano inclinado, temos:

F - F a t - M g s e n θ = M a c m

Passo 3

Nessa expressão tem uma força que nós não conhecemos, que é a força de atrito. Para isso vamos lançar mão de mais uma expressão conhecida, a do torque:

τ = I α

Dado que a força de atrito é a única força cuja linha de ação não passa pelo eixo de rotação, ela é a única que produz torque, então:

F a t R = I α

Sabemos que:

I = M R 2 2

E:

α = a C M R

Substituindo:

F a t = M R 2 2 a C M R 2 → F a t = M a C M 2

Passo 4

Substituindo na equação inicial:

F - M a C M 2 - M g s e n θ = M a C M

Isolando a aceleração:

a C M = 2 3 F M - g s e n θ

Passo 5

c) Como o centro de massa seguiu um MRUV, temos que encontrar o tempo que demora para o disco percorrer uma distância igual a 2 π R , certo? Usando a expressão do MRUV:

2 π R = 1 2 a C M t 2 → t = 6 π M R F - M g s e n θ

Passo 6

d) Esta alternativa é meio complicadinha, mas vamos lá. Você tem que perceber que tanto a normal quanto a força de atrito são aplicadas sobre o “Centro Instantâneo de Rotação”, que, em todos os instantes do movimento está em repouso e, portanto, não deixa que essas forças realizem trabalho.

Já a força peso realiza trabalho que, por definição, é a variação da energia potencial gravitacional.

Como o disco andou na direção do plano uma distância 2 π R , a diferença de altura desses dois pontos é:

∆ H = 2 π R s e n θ

E o trabalho do peso:

W P = - ∆ U = - M g ∆ H

W P = - 2 M g π R s e n θ

A força F também realiza trabalho, mas como ela está na direção do movimento, é mais fácil de calcular:

W F = F d → W F = 2 π R F

Resposta

a)

b) a C M = 2 3 F M - g s e n θ

c) t = 6 π M R F - M g s e n θ

d) W P = - 2 M g π R s e n θ

W F = 2 π R F

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