Exercícios Resolvidos de Rolamento sem Deslizamento

Torque

Um carretel de massa m   e raio externo R rola sem deslizar, para a esquerda, ao ser puxado por uma força F   → aplicada ao seu raio interno r como mostra a figura. Sabe-se que o momento de inércia do carretel em relação ao seu centro de massa é I C .

  1. Qual a aceleração do centro de massa do carretel?
  2. Determine o módulo da força de atrito que atua no carretel e mostre que ela aponta para a direita.
  3. Se o coeficiente de atrito entre o carretel e a superfície é μ , qual a máxima força que pode ser aplicada ao carretel para que ele continue a rolar sem deslizar.

Passo 1

a):

Bom galera, podemos listar três equações que regem esse movimento ai.

Primeiro, como existem forças sendo aplicadas em um corpo, podemos escrever a segunda lei de Newton:

F - f a t = m a

Além disso, existem torques agindo ali também. Tem tanto o torque da força de atrito quanto a da força externa.

No entanto, a gente pode ver pela figura que a força externa faz ele girar no sentido horário. Porém, o enunciado diz que ele rola pra esquerda, o que quer dizer que rolal no sentido anti-horário.

Então é de se esperar que o torque da força de atrito seja maior que o da força externa. Assim:

f a t R - F r = I c m α

Beleza?

E por ultimo, já que o carretel rola sem deslizar:

α R = a

Beleza? Então temos:

F - f a t = m a

f a t R - F r = I c m α

α R = a

Substituindo a terceira na segunda:

f a t R - F r = I c m a R

Isolando f a t :

f a t = F . r R + I c m a R 2

Guarda essa fórmula!!!!

Agora, substituindo na primeira:

F - F . r R + I c m a R 2 = m a

F 1 - r R - I c m a R 2 = m a

F 1 - r R = m a + a . I c m R 2

a m + I c m R 2 = F 1 - r R

a = F 1 - r R m + I c m R 2

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

b):

Provar que ela se move no sentido é só você argumentar que, como no final o carretel roda no sentido anti-horário, o torque da força de atrito tem que ser maior que o da força F e tem que ter o sentido contrário ao torque de F .

Beleza?

Pra calcular o módulo a gente substitui a aqui:

f a t = F . r R + I c m a R 2

f a t = F r R + I c m F 1 - r R m + I c m R 2 . 1 R 2

Passo 3

d):

Beleza galera. Aqui vamos trabalhar com a condição de iminência.

Quando o corpo estiver na condição de iminência de deixar de rolar sem deslizar, as três equações que listamos em a) contnuarão valendo:

F - f a t = m a

f a t R - F r = I c m α

α R = a

Só que ali na primeira equação, vamos chamar F de :

F = F m á x

E:

f a t = f a t m á x

A idéia é que ao aplicarmos uma força máxima, vamos gerar uma reação de uma força de atrito máximo no sistema, mas as três equações continuam valendo.

Mas qual o módulo do atrito máximo?

f a t m á x = N μ

Beleza? Onde:

N = m g

]Assim:

f a t m á x = m g μ

Assim, substituindo na equação:

F m á x - f a t m á x = m a

F m á x = m a + f a t m á x = m a + m g μ = m a + g μ

Show! Mas quanto vale a aceleração mesmo?

a = F 1 - r R m + I c m R 2

Então:

F m á x = m F 1 - r R m + I c m R 2 + g μ

Resposta

a):

a = F 1 - r R m + I c m R 2

b):

f a t = F r R + I c m F 1 - r R m + I c m R 2 . 1 R 2

c):

F m á x = m F 1 - r R m + I c m R 2 + g μ

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